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Um Convite ao Cálculo das Variações

Conjuntamente com os problemas em que é necessário determinar os máximos e mínimos de certa função [;y = f(x);], com frequência surge nos problemas físicos a necessidade de achar os valores máximos ou mínimos de um gênero especial de grandezas, chamadas funcionais.

Os funcionais são grandezas variáveis cujos valores se determinam mediante a escolha de uma ou de várias funções. Por exemplo, o comprimento [;l;] do arco de uma curva plana que une dois pontos dados [;A(x_0,y_0);] e [;B(x_1,y_1);], é um funcional. A grandeza [;l;] pode ser determinada se é dada a equação da curva [;y=y(x);], ou seja:

[;l[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + (y^{\prime})^2}dx;]

A área [;S;] de certa superfície é também um funcional, pois para cada função [;z = z(x,y);], podemos determinar sua área delimitada por uma região [;D;] no plano através da fórmula:

[;S[z(x,y)] = \int_D\int \sqrt{1 + \biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)^2 + \biggl(\frac{\partial z}{\partial y}\biggr)^2}dxdy;]

Os momentos de inércia, os momentos estáticos, as coordenadas do centro de gravidade de certas curvas ou superfícies homogêneas, são também funcionais, posto que seus valores se determinam escolhendo a curva ou a superfície, isto é, as funções contidas na equação de tal curva ou superfície.

Muitas leis da Mecânica e da Física se reduzem a afirmação de que certo funcional deve alcançar seu mínimo ou seu máximo no processo considerado. Neste contexto, tais leis recebem o nome de princípios variacionais da Mecânica ou da Física. A tais princípios variacionais, ou seus corolários mais simples, pertencem: o princípio da ação mínima, a lei da conservação da energia, a lei de conservação do impulso, a lei de conservação da quantidade de movimento e diferentes princípios variacionais da teoria clássica e da teoria relativista.

O Cálculo das Variações começou a desenvolver-se em [;1696;], chegando a ser uma disciplina matemática independente com métodos próprios de investigação depois dos trabalhos fundamentais do membro ativo da Academia de Ciências de São Petersburgo Leonhard Euler [;(1707-1783);] que pode ser considerado com pleno direito o fundador do Cálculo das Variações, mas abdicou de publicar seus trabalhos, dando todos os créditos ao jovem matemático italiano Joseph Louis Lagrange. A base deste formalismo é o lema fundamental do Cálculo das Variações, cuja fórmula aparece na figura acima. O três problemas seguintes exerceram grande influência no desenvolvimento do Cálculo das Variações:

[;1);] Problema da Braquistócrona: Em [;1696;], Johann Bernoulli publicou uma carta no qual propunha um problema sobre as "linhas de deslizamento" mais rápido, ou braquistócronas o qual chamou a atenção dos matemáticos da época. Neste problema, dados os pontos [;P_0;] e [;P_1;], que não pertencem a uma mesma reta vertical, deve-se determinar a linha que une esses dois pontos de modo que um ponto material se deslize por tal curva do ponto [;P_0;] até o ponto [;P_1;] no menor tempo possível. A solução deste problema foi dada por Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz, Isaac Newton e L`Hôpital. A curva de deslizamento mais rápida resultou sr a ciclóide.

[;2);] Problema das Linhas Geodésicas: Qual é a linha de menor comprimento que une dois pontos dados sobre a superfície [;f(x,y,z) = 0;] ?
Estas linhas são chamadas de geodésicas e este é um tipo de problema variacional condicional, pois devemos achar as funções [;y(x);] e [;z(x);] que minimiza o funcional

[;l = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + (y^{\prime})^2 + (z^{\prime})^2}dx;]

com a condição satisfazer a equação [;f(x,y(x),z(x)) = 0;]. Este problema foi resolvido em [;1698;] por Johann Bernoulli, mas o método geral para resolver problemas deste tipo foi dado pelos trabalhos de Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange.

[;3);] Problema Isoperimétrico: Qual é a forma que uma linha fechada de comprimento [;l;] deve ter de modo a delimitar uma região de área máxima [;S;]?

Esta curva, como já se sabia na Grécia Antiga, é a circunferência, mas em termos variocionais devemos achar o extremo do funcional [;S;] com uma condição complementar de que o funcional comprimento de arco

[;l = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2}dt;]

se mantém constante. Condições deste tipo se chamam isoperimétricas. Os métodos gerais de resolução de problemas com condições isoperimétricas foram desenvolvidas por Leonhard Euler.

O Cálculo das Variações continuou seu desenvolvimento nos séculos seguintes com contribuições de grandes matemáticos tais como Ritz, Caractheodory, Riemann, Weiestrass, Dirichlet e Marston Morse com a sua Teoria do Controle Ótimo.

4 comentários:

  1. Arrebentou Prof. Paulo!!
    MUito interessante, tipo de cálculo q precisamos ficar sempre revendo!!

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  2. Muito obrigado Jonas. Essa é na minha opinião uma das mais belas áreas da Matemática, pois de certo modo, tudo na natureza reduz-se a um problema variacional, por exemplo, os peixes e as aves possuem o formato do corpo peculiar de modo a minimizar o atrito com a água e com o ar respectivamente.

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  3. Pedro Júnior (Aluno da UFPB)
    Excelentes esclarecimentos professor Paulo, mostrando que a própria natureza é por sua vez econômica!!!
    pedromatematico06@gmail.com

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  4. Excelente, prof!
    É uma de minhas áreas preferidas, também!
    Abraço!

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