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Zeros de Funções (Parte 1)

Numa série de episódios, aprasentarei alguns métodos numéricos para achar os zeros de uma função real ou de uma equação algébrica ou transcendente. Vejamos primeiramente como isolamos as raízes.

Dada a função [;y = f(x);], queremos determinar [;x = \epsilon;] tal que [;f(x) = 0;]. Este valor é o zero da função [;f(x);] ou a raiz da equação [;f(x) = 0;]. Para as equações do primeiro grau, basta fazer uma pequena manipulação algébrica. Para as equações do segundo grau, temos a famosa fórmula de Bháskara e para equações do terceiro e quarto grau, apesar de existirem fórmulas através de radicais, seu uso não é nada prático.

Para resolver numericamente uma equação, o primeiro passo é isolar a raiz, isto é, achar um intervalo [;[a,b];] o menor possível que contenha apenas uma raiz de [;f(x);]. Para ajudar nesta procura, temos os seguintes teoremas:

Teorema 1: Seja [;f(x);] contínua em [;[a,b];].

[;a);] Se [;f(a)\cdot f(b) \prec 0;] então o intervalo contém no mínimo uma raiz da equação [;f(x) = 0;]
[;b);] A raiz [;\epsilon;] é única se a derivada [;f^{\prime}(x);] existir e preservar o sinal dentro do intervalo [;(a,b);], isto é, se [;f^{\prime}(x) \succ 0;] ou [;f^{\prime}(x) \prec 0;] para [;x \in (a,b);].

Teorema 2: Seja [;P(x);] um polinômio. Se [;P(a)\cdot P(b) \succ 0;] , então existe um número par de raízes de [;P(x);] em [;(a,b);] e se [;P(a)\cdot P(b) \prec 0;], a equação [;P(x) = 0;] admite um número ímpar de raízes neste intervalo.

Além desses teoremas, temos o método gráfico que consiste em observar onde o gráfico da função [;y = f(x);] intercepta o eixo [;Ox;] ou observar o ponto de interseção das curvas [;y = f_1(x);] e [;y = f_2(x);] interceptam-se, sendo [;f_1(x);] e [;f_2(x);] funções que devem ser determinadas de modo que [;f_1(x) + f_2(x) = f(x);].

Observação: No Mathematica encontramos três tipos de rotinas para a determinação de raízes de equações as rotinas Solve, NSolve e FindRoot. O usuário deve ter em mente as limitações e potencialidades destas rotinas, não se devendo influenciar pela tradução literal do nome. As rotinas Solve e NSolve tem aplicação restrita a equações algébricas, sendo que a primeira permitir explicitar a resolução algébrica por radicais quando possível. Quando a função não é polinomial a única rotina que permite uma aproximação das raízes é a rotina FindRoot que consiste numa simples implementação do método de Newton que veremos em breve.

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