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Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1)

Uma propriedade interessante nas funções reais e muito usada no Cálculo e em Séries de Fourier é a paridade das funções, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito os cálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas, como veremos neste post.

Definição 1: Dizemos que a função
[;f\ : \ \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R};] é ímpar se [;f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R};].

As funções [;f(x) = x^3 - x;] e [;g(x) = \sin x;] são exemplos de funções ímpares. A demonstração que [;f;] é ímpar é imediata e para provar que [;g(x);] é uma função ímpar basta analisar a figura acima.

Definição 2: Dizemos que a função
[;f\ : \ \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R};] é par se [;f(-x) = f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R};].

As funções [;f(x) = \cos x;] e [;g(x) = e^x + e^{-x};]são exemplos de funções pares e a demonstração que [;f(x);] é uma função par, baseia-se novamente na figura acima.

Vejamos as principais propriedades das funções pares e ímpares.

Proposição 1: Toda função [;f;] cujo domínio é [;\mathbb{R};] ou um intervalo [;E;] simétrico em relação à origem, pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Demonstração: Sejam [;g;] e [;h;] duas funções obtidas de [;f;]e dadas por

[;g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \qquad \text{e} \qquad h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2};]
Note que
[;g(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - g(x);]

e que [;h(-x) = h(x);]. Assim, [;g;] é uma função ímpar e [;h;] é uma função par. Para encerrar a prova, note que [;f(x) = g(x) + h(x);].

Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade.

Demonstração:
Sejam [;f;]e [;g;] duas funções ímpares definidas em [;\mathbb{R};] ou em um intervalo [;E;] simétrico em torno da origem. Assim,

[;(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x);]

De modo análogo, se [;f;] e [;g;], são funções pares,

[;(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x);]

Proposição 3:
O produto de duas funções [;f;]e [;g;] de mesma paridade é uma função par, isto é, se [;f;]e [;g;] são funções pares ou ímpares, então a função [;(fg)(x);] é uma função par.

Demonstração:
A prova é bem simples e fica a cargo do leitor.

Proposição 4: O produto duas funções [;f;] e [;g;] de paridades distintas é uma função ímpar.


Demonstração: Análoga a prova da proposição anterior.

Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Demonstração: Seja [;f;] uma função par e considere a função [;g(x) = f^{\prime}(x);]. Sendo [;f;] uma função par, [;f(-x) = f(x);] para todo [;x \in \mathbb{R};]. Derivando ambos os lados desta expressão, temos

[;\frac{d}{dx}f(-x) = \frac{d}{dx}f(x) \quad \Rightarrow \quad -f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x) \quad \Rightarrow \quad -g(-x) = g(x);]

ou seja, [;g(x);] é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga.

Vejamos agora aplicação da propriedade de paridade sobre as funções trigonométricas. Por exemplo, é fácil provar que além da função [;\sin x;], as funções [;\tan x;] e [;\cot x;] são funções ímpares.

As fórmulas de adição e diferença de arcos também podem ser deduzidas usando a propriedade de paridade. Vejamos um exemplo.


Exemplo 1: Sabendo que [;\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y);], calcule [;\cos(x - y);].

Resolução: Usando o fato que a função [;\cos x;] é par e a função [;\sin x;] é uma função ímpar, temos:

[;\cos(x - y) = \cos[x + (-y)] = \cos(x)\cos(-y) -  \sin(x)\sin(-y) \quad \Rightarrow;]

[;\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y);]

Exercício: Use o fato que [;\sin(x) = \cos(\pi/2 - x);] e o exemplo anterior e deduza as fórmulas [;\sin(x + y);] e [;\sin(x-y);].

Gostará de ler também:
- O Teorema de Ptolomeu e as Fórmulas Trigonométricas;
- Alguns Fatos Sobre a Tangente de x;
- Demonstração que sen a = cos (pi/2 - a); (Blog O Baricentro da Mente)
- Demonstração da adição e subtração de arcos; (Blog O Baricentro da Mente)

6 comentários:

  1. Olá Paulo. Obrigado pelas citações.

    Não conhecia os conceitos de funções pares e ímpares, pelo menos não com os nomes. Você poderia fazer um post sobre aplicação das Séries de Fourier envolvendo o conceito de funções pares e ímpares? Creio que ficaria muito interessante.

    Um abraço!

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  2. Obrigado pelo comentário e pela sugestão. Claro que sim e colocarei na parte 3 desta série, pois na parte 2 que já está pronta falarei da integral definida de funções pares e ímpares em intervalos simétricos.

    Abraços!

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  3. excelente post...
    Muito bom,e extremamente esclarecedor.
    Aguardarei a parte 2.
    Abraço!

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