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Uma Breve História das Equações Diferenciais

Sem saber alguma coisa sobre equações diferenciais e métodos para resolvê-las é difícil apreciar a sua história. Além disso, o desenvolvimento deste ramo da Matemática está intimamente ligado ao desenvolvimento da própria Matemática.

As equações diferenciais começaram com o estudo do Cálculo por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz no século [;XVII;]. Newton atuou relativamente pouco na área de equações diferenciais, mas o seu desenvolvimento do Cálculo e a elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século [;XVIII;] especialmente por Euler. Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem

[;\frac{dy}{dx} = f(x,y);]

no caso em que [;f(x,y);] é um polinômio em [;x\ ;] e [;y;] usando séries infinitas.

Leibniz foi um autodidata em Matemática, já que seu interesse no assunto desenvolveu-se quando tinha vinte e poucos anos. Leibniz compreendia o poder de uma boa notação matemática e a nossa notação para derivada [;dy/dx;], assim como o sinal de integral, são devidos a ele. Descobriu o método de separação de variáveis para as equações
[;\frac{dy}{dx} = \frac{P(y)}{Q(x)};]

em [;1691;], a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem

[;\fra{dy}{dx} + P(x)y = Q(x);]

Como embaixador e conselheiro de diversas famílias, Leibniz viajou muito por toda a Europa e manteve uma extensa correspondência com os irmãos Bernoulli. No decorrer dessas correspondência foram resolvidos muitos problemas em equações diferenciais durante a parte final do século [;XVII;].

Os irmãos Jakob [;(1654-1705);] e Johann [;(1667-1748);] Bernoulli contribuíram muito para o desenvolvimento das equações diferenciais e suas aplicações. Ambos eram briguentos, ciumentos e estavam frequentemente envolvidos em disputas matemáticas. Apesar disso, ambos fizeram contribuições significativas em diversas áreas da Matemática. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equação diferencial

[;y^{\prime} = \sqrt{\frac{a^3}{b^2y - a^3}};]

e usou pela primeira vez a palavra "integral" no sentido moderno e seu irmão resolveu de forma brilhante o problema da catenária que é a forma que os cabos suspensos adquirem sob seu próprio peso. A catenária satisfaz a equação diferencial

[;\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\rho g}{H}\sqrt{1 + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2};]

O problema de determinar a forma de uma curva ligando dois pontos distintos sobre um plano vertical, conhecido por problema da braquistócrona, foi resolvido pelos irmãos Bernoulli e também por Leibniz e Newton. Diz-se que Newton soube do problema no final da tarde de um dia cansativo na Cada da Moeda e que o resolveu naquela noite após o jantar.

O maior matemático do século [;XVIII;], Leonhard Euler identificou a condição para que equações de primeira ordem sejam exatas. Em um artigo publicado em [;1734;]desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações de coeficientes constantes tal como

[;a_2y^{\prime \prime} + a_1y^{\prime} + a_0y = f(x);]

Em [;1750;], Euler usou séries de potências para resolver equações diferenciais. Propôs também um procedimento numérico para resolver equações do tipo

[;\begin{cases}&\frac{dy}{dx} = f(x,y)\\&y(x_0) = y_0\\\end{cases};]

Além disso, ele deu contribuições importantes em equações diferencias parciais, descobrindo a equação

[;\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0;]

que atualmente é conhecido por laplaciano, muitos anos antes de Pierre Simon de Laplace e apresentou o primeiro tratamento sistemático ao Cálculo das Variações.

Outro personagem desta história e Joseph Louis Lagrange que entre os anos de [;1762;] e [;1765;], mostrou que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de grau [;n;] é uma combinação linear de [;n;] soluções independentes. Mais tarde, em [;1774-1775;], desenvolveu o seu método da variação dos parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu trabalho fundamental em Equações Diferenciais Parciais e Cálculo das Variações.

No final do século [;XVIII;] muitos métodos elementares para resolver equações diferencias ordinárias já tinham sido descobertos. No início do século [;XIX;], Joseph Fourier resolve a equação diferencial parcial que descreve a distribuição de calor em uma barra através de séries trigonométricas. As séries de Fourier mostraram-se muito eficaz para resolver diversos outros tipos de equações parciais lineares, mas estudos rigorosos de sua convergência, levou ao desenvolvimento das funções e de novas teorias de integração.

Muitas outras equações diferenciais parciais foram estudadas a medida que se tornou claro o seu papel em Física-Matemática. Com isso, muitas funções, soluções de certas equações diferenciais ordinárias, começaram a aparecer em muitas situações e receberam nomes de vários matemáticos que fizeram suas contribuições, tais como Bessel, Legendre, Hermite, Chebyshev e Hankel.


Por volta de [;1870;], iniciou-se a investigação de questões teóricas de existência e unicidade, assim como o desenvolvimento de métodos menos elementares como a expansão me séries de potências no plano complexo. Por volta de [;1900;], já haviam desenvolvidos métodos efetivos de integração numérica mas sua implementação estava severamente prejudicada pela necessidade de se executar os cálculos a mão ou com equipamentos computacionais muito primitivos.

Nos últimos [;50;] anos, o desenvolvimento de computadores cada vez mais poderosos e versáteis aumentou muito a variedade de problemas que podem ser investigados, de maneira efetiva, por métodos numéricos. Durante esse mesmo período, foram desenvolvidos integradores numéricos extremamente refinados e robustos, facilmente disponíveis.

No século [;XX;], também foram desenvolvidos métodos geométricos ou topológicos para o estudo das equações parciais não-lineares. O objetivo é compreender, pelo menos qualitativamente, o comportamento de soluções de um ponto de vista geométrico, assim como analítico. Caso seja necessário maiores detalhes em certas regiões, faz-se o uso de métodos numéricos.


Nos últimos anos essas duas tendências se juntaram e foram descobertos através da computaçao gráfica, fenômenos inesperados conhecidos como atratores estranhos, caos e fractais, que estão sendo intensamente estudados e estão gerando novas e importantes ideias em diversas aplicações diferentes. Em pleno século [;XXI;], temos vários problemas na área de equações diferenciais a serem resolvidos, como por exemplo, achar a solução das equações de Navier-Stokes.

Referência Bibliográfica:
- DiPrima, Richard C. e Boyce, William E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. [;7^{\underline{a}};] ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ, 2002.

Gostará de ler também:
- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Euler: O Mestre de Todos Nós;
- Algumas Propriedades da Equação N-Dimensional do Calor.

6 comentários:

  1. Paulo Sérgio,

    Nossa, você compactou um mundo de conhecimento nessa postagem, muito bom! Sem dúvida é um belo texto para quem precisa estudar equações diferenciais, para "montar o quebra cabeças" que é essa área da matemática.

    Valeu!

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  2. Realmente, esta área é uma das mais belas da Matemática e este texto fica como um convite para os alunos que queiram estudá-la. Valeu pelo comentário. Um abraço!

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  3. Professor paulo,gosto muito do seu blog e gostaria de parabenizá-lo pelo trabalho.Quanto às equações diferenciais,fiquei muito curioso mesmo!Eu gostaria que o senhor me indicasse algum bom livro de introdução a elas[Eu já sei limites e derivadas].

    obrigado.

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  4. Diego que bom que gosta do meu blog, fico muito agradecido. Com relação as equações diferenciais, é necessário também saber integrais e técnicas de integração. Mas nada impede que você comece a estudar o assunto. O melhor livro em português para um iniciante é o Boyce Di Prima que pode ser baixado neste link

    http://www.4shared.com/document/lHbz5ccT/Solues_-_Equaes_Diferenciais_-.htm

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  5. eu nao sei explicar essa hestoria esta bem resumida eu adorei

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  6. Prof., parece que o matématico Mujtarbay Otelbayev obteve a solução para a equação de Navier-Stokes.

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