Uma Breve História das Equações Diferenciais

Sem saber alguma coisa sobre equações diferenciais e métodos para resolvê-las é difícil apreciar a sua história. Além disso, o desenvolvimento deste ramo da Matemática está intimamente ligado ao desenvolvimento da própria Matemática.

As equações diferenciais começaram com o estudo do Cálculo por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz no século . Newton atuou relativamente pouco na área de equações diferenciais, mas o seu desenvolvimento do Cálculo e a elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século especialmente por Euler. Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem

no caso em que é um polinômio em e usando séries infinitas.

Leibniz foi um autodidata em Matemática, já que seu interesse no assunto desenvolveu-se quando tinha vinte e poucos anos. Leibniz compreendia o poder de uma boa notação matemática e a nossa notação para derivada , assim como o sinal de integral, são devidos a ele. Descobriu o método de separação de variáveis para as equações

em , a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem

Como embaixador e conselheiro de diversas famílias, Leibniz viajou muito por toda a Europa e manteve uma extensa correspondência com os irmãos Bernoulli. No decorrer dessas correspondência foram resolvidos muitos problemas em equações diferenciais durante a parte final do século .

Os irmãos Jakob e Johann Bernoulli contribuíram muito para o desenvolvimento das equações diferenciais e suas aplicações. Ambos eram briguentos, ciumentos e estavam frequentemente envolvidos em disputas matemáticas. Apesar disso, ambos fizeram contribuições significativas em diversas áreas da Matemática. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equação diferencial

e usou pela primeira vez a palavra "integral" no sentido moderno e seu irmão resolveu de forma brilhante o problema da catenária que é a forma que os cabos suspensos adquirem sob seu próprio peso. A catenária satisfaz a equação diferencial

O problema de determinar a forma de uma curva ligando dois pontos distintos sobre um plano vertical, conhecido por problema da braquistócrona, foi resolvido pelos irmãos Bernoulli e também por Leibniz e Newton. Diz-se que Newton soube do problema no final da tarde de um dia cansativo na Cada da Moeda e que o resolveu naquela noite após o jantar.

O maior matemático do século , Leonhard Euler identificou a condição para que equações de primeira ordem sejam exatas. Em um artigo publicado em desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações de coeficientes constantes tal como

Em , Euler usou séries de potências para resolver equações diferenciais. Propôs também um procedimento numérico para resolver equações do tipo

Além disso, ele deu contribuições importantes em equações diferencias parciais, descobrindo a equação

que atualmente é conhecido por laplaciano, muitos anos antes de Pierre Simon de Laplace e apresentou o primeiro tratamento sistemático ao Cálculo das Variações.

Outro personagem desta história e Joseph Louis Lagrange que entre os anos de e , mostrou que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de grau é uma combinação linear de soluções independentes. Mais tarde, em , desenvolveu o seu método da variação dos parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu trabalho fundamental em Equações Diferenciais Parciais e Cálculo das Variações.

No final do século muitos métodos elementares para resolver equações diferencias ordinárias já tinham sido descobertos. No início do século , Joseph Fourier resolve a equação diferencial parcial que descreve a distribuição de calor em uma barra através de séries trigonométricas. As séries de Fourier mostraram-se muito eficaz para resolver diversos outros tipos de equações parciais lineares, mas estudos rigorosos de sua convergência, levou ao desenvolvimento das funções e de novas teorias de integração.

Muitas outras equações diferenciais parciais foram estudadas a medida que se tornou claro o seu papel em Física-Matemática. Com isso, muitas funções, soluções de certas equações diferenciais ordinárias, começaram a aparecer em muitas situações e receberam nomes de vários matemáticos que fizeram suas contribuições, tais como Bessel, Legendre, Hermite, Chebyshev e Hankel.

Por volta de , iniciou-se a investigação de questões teóricas de existência e unicidade, assim como o desenvolvimento de métodos menos elementares como a expansão me séries de potências no plano complexo. Por volta de , já haviam desenvolvidos métodos efetivos de integração numérica mas sua implementação estava severamente prejudicada pela necessidade de se executar os cálculos a mão ou com equipamentos computacionais muito primitivos.

Nos últimos anos, o desenvolvimento de computadores cada vez mais poderosos e versáteis aumentou muito a variedade de problemas que podem ser investigados, de maneira efetiva, por métodos numéricos. Durante esse mesmo período, foram desenvolvidos integradores numéricos extremamente refinados e robustos, facilmente disponíveis.

No século , também foram desenvolvidos métodos geométricos ou topológicos para o estudo das equações parciais não-lineares. O objetivo é compreender, pelo menos qualitativamente, o comportamento de soluções de um ponto de vista geométrico, assim como analítico. Caso seja necessário maiores detalhes em certas regiões, faz-se o uso de métodos numéricos.

Nos últimos anos essas duas tendências se juntaram e foram descobertos através da computaçao gráfica, fenômenos inesperados conhecidos como atratores estranhos, caos e fractais, que estão sendo intensamente estudados e estão gerando novas e importantes ideias em diversas aplicações diferentes. Em pleno século , temos vários problemas na área de equações diferenciais a serem resolvidos, como por exemplo, achar a solução das equações de Navier-Stokes.

Referência Bibliográfica:

- DiPrima, Richard C. e Boyce, William E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ, 2002.

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- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Euler: O Mestre de Todos Nós;
- Algumas Propriedades da Equação N-Dimensional do Calor.