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O Produto Escalar de Dois Números Complexos

Variáveis complexas é uma das áreas mais fascinantes de toda a Matemática e por isso, resolvi a partir de hoje elaborar alguns posts desta disciplina. Começarei relacionando os números complexos aos vetores no [;\mathbb{R}^2;] e apresentando o produto escalar entre eles.

Um número complexo [;z = x + iy;], onde [;x = Re(z);] é a sua parte real e [;y =Im(z);]é a sua parte imaginária, pode ser visto como um vetor cuja a origem é a origem do sistema de coordenadas [;O;] e cuja extremidade é o ponto [;P(x,y);] representado pelo número complexo [;z;].

Observe que dois vetores de mesmo módulo e direção, mas com pontos iniciais distintos tais como [;\vec{OP};] e [;\vec{AB};] na figura abaixo são iguais. Portanto, um único número complexo pode ser usado para representar qualquer vetor no plano e reciprocamente.


Observe que a adição de números complexos corresponde exatamente a regra do paralelogramo para a adição de vetores. É importante que o leitor já esteja familiarizado com as operações básicas de números complexos tais como a soma, subtração e produto de dois números complexos.

Definição 1: O produto escalar de dois números complexos [;z_1 = x_1 + iy_1;] e [;z_2 = x_2 + iy_2;], denotado por [;z_1\circ z_2;] é definido por

[;z_1\circ z_2 = Re(\bar{z_1}z_2) \qquad (1);]

onde [;\bar{z_1} = x_1 - iy_1;] é o seu conjugado.

Além disso, sendo

[;\bar{z_1}z_2 = (x_1 - iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + (x_1y_2 - x_2y_1)i;]

segue que [;z_1\circ z_2 = x_1x_2 + y_1y_2;] .

Observação 1: Note que [;\sqrt{z \circ z} = \sqrt{x^2 + y^2} = \mid z \mid;], ou seja, o módulo do número complexo [;z;] é a raiz quadrada do produto escalar por ele mesmo.

Proposição 1: O produto escalar dos números complexos [;z_1;] e [;z_2;] são dados por

[;z_1\circ z_2 = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + z_1\bar{z_2}) \qquad (2);]

Demonstração: Observe que [;\bar{\bar{z}} = z;] e que [;Re(z) = \frac{1}{2}(z + \bar{z});]. Assim, usando a Def. 1, temos
[;z_1\circ z_2 = Re(\bar{z_1}z_2) = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + \bar{\bar{z_1}z_2});]

[;= \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + \bar{\bar{z_1}}z_2) = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + z_1\bar{z_2});]

Proposição 2:
[;z_1\circ z_2 = \mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta \qquad (3);]

onde [;\theta;] é o ângulo entre as semi-retas formadas ligando a origem aos números complexos [;z_1;] e [;z_2;] satisfazendo as desigualdades [;0 \leq \theta \leq \pi;].


Demonstração: Na figura acima, a diferença entre [;z_2;] e [;z_1;] é um vetor com origem na extremidade de [;z_1;] e extremidade na extremidade de [;z_2;]. Assim, usando a lei dos cossenos, temos

[;\mid z_2 - z_1 \mid^2 = \mid z_1 \mid^2 + \mid z_2 \mid^2 - 2\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta \quad \Rightarrow;]

[;(z_2 - z_1)(\bar{z_2 - z_1}) = \mid z_1 \mid^2 + \mid z_2 \mid^2 - 2\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta \quad \Rightarrow;]

[;z_2\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} + z_1\bar{z_1} = \mid z_1 \mid^2 + \mid z_2 \mid^2 - 2\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta;]

Usando o fato que [;z\bar{z} = \mid z \mid^2;], segue que


Corolário 1: Os números complexos [;z_1;] e [;z_2;] são ortogonais se e somente se [;z_1\circ z_2 = 0;].

Demonstração: Exercício para o leitor.

Exemplo 1: Determine o ângulo formado pelos números complexos [;z_1 = 1 + i;] e [;z_2 = 2 - i;].
Resolução: Note que

[;z_1\circ z_2 = Re(\bar{z_1}z_2) = Re[(1 - i)(2 - i)] = Re(2 - 2i - i + i^2);]

[;= Re(1 - 3i) = 1;]

Sendo [;\mid z_1 \mid = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2};] e [;\mid z_2 \mid = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5};]. Usando a expressão [;(3);], segue que
[;1 = \sqrt{2}\sqrt{5}\cos \theta \quad \Rightarrow \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \Rightarrow \quad \theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}};]

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6 comentários:

  1. Realmente muito bom o post, eu tambem sou um grande admirador de variantes complexas, muito bom professor.

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  2. Paulo, meu contador de comentários e posts parou de contar novamente. Inseri um novo código, mas não aumenta a contagem. O seu está normal?
    Abraço.

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  3. Parabéns pelo post. Professor, existe também números perplexos??

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  4. Além dos números complexos, existem os quatérnions e os octônios. Não conheço os núemeros perplexos. Obrigado pelo comentário, volte sempre!

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  5. Pois é, eu encontrei na net que o perplexo é definido como A+Bi+Cq, A sendo a parte real, B a parte imaginária e C a parte "confusa". i é sqrt(-1) e q é ln(-1). Diz também que são representados no plano perpendicular ao do Argand-Gauss-Fermat. Deve haver outro nomem pra esses números ou são uma piada.

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