Membros

terça-feira

O Produto Escalar de Dois Números Complexos

Variáveis complexas é uma das áreas mais fascinantes de toda a Matemática e por isso, resolvi a partir de hoje elaborar alguns posts desta disciplina. Começarei relacionando os números complexos aos vetores no [;\mathbb{R}^2;] e apresentando o produto escalar entre eles.

Um número complexo [;z = x + iy;], onde [;x = Re(z);] é a sua parte real e [;y =Im(z);]é a sua parte imaginária, pode ser visto como um vetor cuja a origem é a origem do sistema de coordenadas [;O;] e cuja extremidade é o ponto [;P(x,y);] representado pelo número complexo [;z;].

Observe que dois vetores de mesmo módulo e direção, mas com pontos iniciais distintos tais como [;\vec{OP};] e [;\vec{AB};] na figura abaixo são iguais. Portanto, um único número complexo pode ser usado para representar qualquer vetor no plano e reciprocamente.


Observe que a adição de números complexos corresponde exatamente a regra do paralelogramo para a adição de vetores. É importante que o leitor já esteja familiarizado com as operações básicas de números complexos tais como a soma, subtração e produto de dois números complexos.

Definição 1: O produto escalar de dois números complexos [;z_1 = x_1 + iy_1;] e [;z_2 = x_2 + iy_2;], denotado por [;z_1\circ z_2;] é definido por

[;z_1\circ z_2 = Re(\bar{z_1}z_2) \qquad (1);]

onde [;\bar{z_1} = x_1 - iy_1;] é o seu conjugado.

Além disso, sendo

[;\bar{z_1}z_2 = (x_1 - iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + (x_1y_2 - x_2y_1)i;]

segue que [;z_1\circ z_2 = x_1x_2 + y_1y_2;] .

Observação 1: Note que [;\sqrt{z \circ z} = \sqrt{x^2 + y^2} = \mid z \mid;], ou seja, o módulo do número complexo [;z;] é a raiz quadrada do produto escalar por ele mesmo.

Proposição 1: O produto escalar dos números complexos [;z_1;] e [;z_2;] são dados por

[;z_1\circ z_2 = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + z_1\bar{z_2}) \qquad (2);]

Demonstração: Observe que [;\bar{\bar{z}} = z;] e que [;Re(z) = \frac{1}{2}(z + \bar{z});]. Assim, usando a Def. 1, temos
[;z_1\circ z_2 = Re(\bar{z_1}z_2) = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + \bar{\bar{z_1}z_2});]

[;= \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + \bar{\bar{z_1}}z_2) = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + z_1\bar{z_2});]

Proposição 2:
[;z_1\circ z_2 = \mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta \qquad (3);]

onde [;\theta;] é o ângulo entre as semi-retas formadas ligando a origem aos números complexos [;z_1;] e [;z_2;] satisfazendo as desigualdades [;0 \leq \theta \leq \pi;].


Demonstração: Na figura acima, a diferença entre [;z_2;] e [;z_1;] é um vetor com origem na extremidade de [;z_1;] e extremidade na extremidade de [;z_2;]. Assim, usando a lei dos cossenos, temos

[;\mid z_2 - z_1 \mid^2 = \mid z_1 \mid^2 + \mid z_2 \mid^2 - 2\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta \quad \Rightarrow;]

[;(z_2 - z_1)(\bar{z_2 - z_1}) = \mid z_1 \mid^2 + \mid z_2 \mid^2 - 2\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta \quad \Rightarrow;]

[;z_2\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} + z_1\bar{z_1} = \mid z_1 \mid^2 + \mid z_2 \mid^2 - 2\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \cos \theta;]

Usando o fato que [;z\bar{z} = \mid z \mid^2;], segue que


Corolário 1: Os números complexos [;z_1;] e [;z_2;] são ortogonais se e somente se [;z_1\circ z_2 = 0;].

Demonstração: Exercício para o leitor.

Exemplo 1: Determine o ângulo formado pelos números complexos [;z_1 = 1 + i;] e [;z_2 = 2 - i;].
Resolução: Note que

[;z_1\circ z_2 = Re(\bar{z_1}z_2) = Re[(1 - i)(2 - i)] = Re(2 - 2i - i + i^2);]

[;= Re(1 - 3i) = 1;]

Sendo [;\mid z_1 \mid = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2};] e [;\mid z_2 \mid = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5};]. Usando a expressão [;(3);], segue que
[;1 = \sqrt{2}\sqrt{5}\cos \theta \quad \Rightarrow \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \Rightarrow \quad \theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}};]

Gostará de ler também

6 comentários:

  1. Realmente muito bom o post, eu tambem sou um grande admirador de variantes complexas, muito bom professor.

    ResponderExcluir
  2. Este comentário foi removido pelo autor.

    ResponderExcluir
  3. Parabéns pelo post. Professor, existe também números perplexos??

    ResponderExcluir
  4. Além dos números complexos, existem os quatérnions e os octônios. Não conheço os núemeros perplexos. Obrigado pelo comentário, volte sempre!

    ResponderExcluir
  5. Pois é, eu encontrei na net que o perplexo é definido como A+Bi+Cq, A sendo a parte real, B a parte imaginária e C a parte "confusa". i é sqrt(-1) e q é ln(-1). Diz também que são representados no plano perpendicular ao do Argand-Gauss-Fermat. Deve haver outro nomem pra esses números ou são uma piada.

    ResponderExcluir