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O Produto Vetorial de Dois Números Complexos

Já vimos o produto escalar de dois números complexos (click aqui). Neste post, definiremos o produto vetorial entre eles e veremos como podemos usar esta ferramenta para calcular a área de paralelogramos e triângulos.

Definição 1: O produto vetorial de dois números complexos [;z_1 = x_1 + iy_1;] e [;z_2 = x_2 + iy_2;] e denotado por [;z_1\times z_2;] é definido por

[;z_1\times z_2 = Im(\bar{z_1}z_2) \qquad (1);]

Observação 1: Sendo

[;\bar{z_1}z_2 = (x_1 - iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + (x_1y_2 - x_2y_1)i;]


segue que

[;z_1\times z_2 = x_1y_2 - x_2y_1;]


Exemplo 1: Dado [;z_1 = 1 + i;] e [;z_2 = 2 - i;] determine [;2z_1\times z_2;].

Resolução: O primeiro modo é usando a observação acima.



Um outro modo é o seguinte:

[;2(\bar{1 + i})(2 - i) = 2(1 - i)(2 - i) = 2(2 - 1 - 2i - i) = 2 - 6i;]

donde segue que [;2z_1\times z_2 = Im(2\bar{z_1}z_2) = -6;].

Proposição 1: Sejam os números complexos [;z_1 = x_1 + iy_1;], [;z_2 = x_2 + iy_2;],[;z_3 = x_3 + iy_3;]e [;k \in \mathbb{R};]. Então:
i) [;z_1\times z_2 = -z_2 \times z_1;];
ii)
[;(kz_1)\times z_2 = k(z_1\times z_2);];
iii) [;z_1\times (z_2 + z_3) = z_1\times z_2 + z_1\times z_3;];

Demonstração:
i) [;z_1\times z_2 = (x_1y_2 - x_2y_1) = -(x_2y_1 - x_1y_2) = -z_2\times z_1;];

ii) [;(kz_1)\times z_2 = [k(x_1 + iy_1)]\times (x_2 + iy_2) = (kx_1 + iky_1)\times (x_2 + iy_2);]
[;= (kx_1)y_2 - (kx_2)y_1 = k(x_1y_2 - x_2y_1) = k(z_1\times z_2);];

iii) Este item é análogo aos anteriores e fica como exercício.

Proposição 2: O produto vetorial dos números complexos [;z_1;] e [;z_2;] é dado por

[;z_1\times z_2 = \frac{1}{2i}(\bar{z_1}z_2 - z_1\bar{z_2})\qquad (2);]

Demonstração: Da expressão [;(1);], temos

[;z_1\times z_2 = Im\bar{z_1}\times z_2 = \frac{1}{2i}(\bar{z_1}z_2 - \bar{\bar{z_1}z_2}) = \frac{1}{2i}(\bar{z_1}z_2 - z_1\bar{z_2});]

Proposição 3: [;\mid z_1\times z_2 \mid = \mid z_1\mid \mid z_2 \mid \sin \theta;], sendo [;\theta;] o ângulo formado entre [;z_1;] e [;z_2;] tal que [;0\leq \theta \leq 180^{\circ};].

Demonstração:
[; \mid z_1\mid^2\mid z_2 \mid^2\sin^2\theta = \mid z_1\mid^2\mid z_2\mid^2(1 - cos^2\theta);]

[;= \mid z_1 \mid^2 \mid z_2 \mid^2 - \mid z_1 \mid^2 \mid z_2 \mid^2\cos^2 \theta = \mid z_1 \mid^2\mid z_2 \mid^2 - (z_1\circ z_2)^2;]

Já vimos que [;z_1\circ z_2 = \frac{1}{2}(\bar{z_1}z_2 + z_1\bar{z_2});]. Assim,

[;=\mid z_1\mid^2 \mid z_2 \mid^2 - \frac{1}{4}(\bar{z_1}z_2)^2 - \frac{1}{2}\bar{z_1}z_2z_1\bar{z_2} - \frac{1}{4}(z_1\bar{z_2})^2;]

[;=-\frac{1}{4}[(\bar{z_1}z_2)^2 - 2\bar{z_1}z_2z_1\bar{z_2} + (z_1\bar{z_2})^2] = \frac{1}{4i^2}(\bar{z_1}z_2 - z_1\bar{z_2})^2;]
Logo,
[;\mid z_1 \mid \mid z_2 \mid \sin \theta = \frac{1}{2i}(\bar{z_1}z_2 - z_1\bar{z_2})^2 = \mid z_1\times z_2 \mid;]

O produto vetorial de dois números complexos possui uma interpretação geométrica dada pela proposição abaixo.

Proposição 4: A área do paralelogramo formado por [;z_1;] e [;z_2;] é [;S = \mid z_1\times z_2 \mid;].

Demonstração: Seja [;h;] a altura do paralelogramo relativa ao lado formado pelo complexo [;z_2;]. Assim,

[;\sin \theta = \frac{h}{\mid z_1 \mid} \quad \Rightarrow \quad h = \mid z_1 \mid \sin \theta;]
Logo,
[;S = h\mid z_2 \mid = \mid z_1 \mid \sin \theta \cdot \mid z_2 \mid = \mid z_1\times z_2 \mid;]

pela Proposição 3.

Corolário 1: A área do triângulo definido por [;z_1;] e [;z_2;] é dada por

[;S = \frac{1}{2}\mid z_1\times z_2 \mid;].

Demonstração: Fica a cargo do leitor.

Gostará de ler também:
- O Produto Escalar de Dois Números Complexos;
- Sobre o Produto Vetorial;
- Sobre o Produto Escalar.

Um comentário:

  1. Muito interessante. No entanto minha dúvida cabia para as variáveis complexas, mas explicitamente para a lei dos cossenos. No entanto, muito obrigado. Geraldo Celso. gg.ferreira @bol.com.br

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