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A Equação de Torricelli e a Distância de Frenagem


O Brasil é um dos países recordistas em acidentes automobilísticos e há várias razões para isso, tais como a falta de manutenção do veículo, condições precárias das rodovias e a principal, talvez seja a imprudência dos motoristas, fazendo ultrapassagens indevidas ou dirigindo em alta velocidade.

Estudos mostram que a parada de um veículo depende de três fatores:

i) Tempo de percepção da necessidade de frear;

ii) Tempo de reação;


iii) Distância de frenagem que por sua vez depende das condições do piso.

Em condições normais, o tempo de percepção é de [;1;] segundo e o tempo de reação é de [;0,75;] segundos. Sendo assim, a distância de parada é igual a distância de reação adicionada a distância de frenagem.

Neste post, analisaremos como podemos calcular a distância de frenagem de um veículo sabendo as condições do piso e sua velocidade ou inversamente, determinar a velocidade do veículo medindo o comprimento da frenagem deixada no piso. Esta última abordagem é muito utilizada por peritos da polícia para analisar acidentes automobilísticos.

Considere um veículo trafegando em uma pista horizontal cujo coeficiente de atrito seja igual a [;\mu;]. Na figura abaixo, temos um esquema da forças agindo sobre este automóvel.

Neste caso, a força normal [;\vec{N};]é oposta a força peso [;\vec{P};] do veículo. No caso de uma frenagem, a força de atrito é a única força que responsável pela parada do veículo. Da Física, sabemos que

[;F_{at} = \mu N = \mu m g;]

onde [;\vec{g};] é a aceleração da gravidade e [;m;] é a massa do veículo. Pela segunda lei de Newton, segue que

[;ma = - F_{at} \quad \Rightarrow \quad a = -\mu g;]

Sendo [;a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx};], temos

[;v\frac{dv}{dx} = -\mu g \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{v_0}vdv = -\mu g\int_{L}^{0}dx \quad \Rightarrow;]

[;\frac{v^2}{2}\biggr]_{0}^{v_0} = -\mu g x \biggr]_{L}^{0} \quad \Rightarrow \quad v_{0} = \sqrt{2\mu gL}\qquad (1);]

onde [;v_0;] é a velocidade inicial em que o veículo começou a frenagem e [;L;] é o tamanho de marcas ininterruptas deixadas pelos pneus travados pelos freios.

Adotando [;g = 9,8\ m/s^2;] e [;L;] em metros, a velocidade [;v_0;] em [;(1);] será dada em [;m/s;]. Na prática é usual avaliar a velocidade do veículo em [;km/h;], por isso iremos multiplicar esta expressão pelo fator de conversão [;3,6;], ou seja, [;1\ m/s = 3,6\ km/h;] para obter

[;v_0 = 3,6\sqrt{19,6\mu L} \qquad (km/h) \qquad (2);]

Observação 1: Preferi obter a fórmula [;(1);] usando integração, mas este processo é equivalente ao uso da fórmula de Torricelli [;v^2 = v_{0}^{2} + 2a\Delta s;].

Antes de aplicar a expressão [;(2);], vejamos a tabela de alguns coeficientes de atrito ([;\mu;]) em diferentes tipos de pisos nas condições de seca ou molhada.


Exemplo 1: Em um teste para uma revista automotiva, um motorista conduz um veículo sobre uma superfície seca de concreto novo. Em certo momento, o motorista aciona os freios, bloqueando as rodas até a parada total do veículo, deixando uma marca de [;17\ m;] de comprimento. Qual é a velocidade aproximada com que o veículo trafegava no momento em que os freios foram acionados?

Resolução: Como o veículo está numa pista de concreto novo, pela tabela acima vemos que [;\mu = 0,84;]. Sendo [;L = 17\ m;], então pela fórmula [;(1);], segue que

[;v_0 = 3,6\sqrt{19,6\cdot 0,84\cdot 17} \simeq 60\ km/h;]

Exemplo 2: Sob intensa chuva, um motorista conduz, a [;144\ km/h;], um veículo por uma rodovia de asfalto já bastante trafegado. Num trecho da reta, após perceber a presença de uma árvore caída sobre a rodovia, impedindo a passagem de qualquer veículo, ele reage e aciona os freios, travando as rodas até a parada completa do veículo. Exatamente no momento em que as rodas são travadas, o veículo está a [;140\ m;] da árvore. Se o carro continuar sua trajetória em linha reta, com as rodas bloqueadas, o motorista irá colidir com a árvore?

Resolução: Trata-se de uma pista asfáltica trafegada, de modo que [;\mu = 0,53;]. Sendo [;v_0 = 144\ km/h;], então da expressão [;(1);], temos

[;144 = 3,6\sqrt{19,6\cdot 0,53\cdot L} \quad \Rightarrow \quad L = 154\ m;]

Como o veículo estava a [;140\ m;] da árvore no momento da freada, concluímos que o carro irá colidir com ela.

Observação 2: Podemos determinar o coeficiente de atrito [;\mu;] de uma pista se soubermos a velocidade inicial [;v_0;] antes da frenagem e também o comprimento [;L;] da marca de frenagem.

Referência Bibliográfica:

- Prova da Fase Final. XXIV Olímpiada Paulista de Matemática. 2000.


Gostará de ler também:
- Lançando Bombas;
- Velocidade de Escape;
- A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas.

8 comentários:

  1. Parabens pelo blog professor, realmente muito bom!!

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  2. Obrigado pelo comentário Joelson. Volte sempre!

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  3. pena não saber integral e derivada ainda, mas entendi o processo pra desenvolver as equações..

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  4. A interpretação da equação de Torricelli e a distância de frenagem é estuda em Física, a nível médio, no 1º ano, em cinemática.Aqui a sua interpretação é para um aluno que já conheceu a ferramenta de cálculo diferencial e integral, que esteja fazendo, por exemplo: Um curso de graduação em Física ou de Engenharia Mêcanica,Parabéns pela sua construção!

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  5. É a matemática resolvendo questões jurídicas!

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  6. Professor, se for possível eu queria ver uma demonstração da equação dos planetas. Eu tinha esse material e perdí à muito tempo atraz

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