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Uma Breve História das Funções Elípticas

O primeiro matemático a abordar as integrais elípticas foi John Wallis, que em [;1655;] começou a estudar o comprimento de arco de uma elipse. Issac Newton também estudou este assunto e ambos publicaram seus resultados em termos de séries infinitas.

Em [;1689;], o matemático Johann Bernoulli estudando a espiral parabólica [;r^2 = a\theta;] observou que a questão do comprimento da curva leva através de [;ds = \sqrt{dr^2 + (rd\theta)^2};], a integral da raiz quadrada de um polinômio do [;4^{\underline{\circ}};] grau, o primeiro exemplo específico de uma integral elíptica.

Somente após [;1700;] que Legendre começou a usar as integrais elípticas em problemas tais como o movimento de um pêndulo simples e a deflexão de uma barra elástica fina.

Adrien Marie Legendre [;(1752-1833);], matemático francês é lembrado principalmente pelo símbolo de Legendre usado em Teoria dos Números, pelas funções especiais que levam o seu nome e prova da irracionalidade de [;\pi;]. Mas este pesquisador, passou quarenta anos de sua vida estudando as funções elípticas, incluindo a classificação das integrais elípticas. Seu primeiro trabalho publicado sobre integrais elípticas consistiu de dois artigos nas Memórias da Academia Francesa de [;1786;] e que tratava de arcos elípticos.

O maior trabalho de Legendre sobre funções elípticas apareceu em [;3;] volumes entre [;1811;] e [;1816;]. No primeiro volume Legendre apresentou as propriedades básicas das integrais elípticas e das funções beta e gama. Mais resultados sobre essas funções apareceram no segundo volume juntamente com suas aplicações à Mecânica, a rotação da Terra e atração de elipsóides além de outros problemas. O terceiro volume contém as famosas tabelas de integrais elípticas os quais foram calculadas por ele mesmo. Entre [;1825-1830;], ele repetiu o seu trabalho também em [;3;] volumes.

Apesar de quarenta anos de dedicação às funções elípticas, o trabalho de Legendre foi essencialmente despercebido pelos seus contemporâneos até [;1827;], quando dois jovens, e ainda desconhecidos matemáticos Abel e Jacobi colocou o assunto em uma nova base que o revolucionou completamente.

Em [;1825;], o governo norueguês financiou Abel a uma visita à França e Alemanha. Em seguida Abel viajou para Paris e tentou em vão apresentar um artigo sobre a dupla periodicidade das funções elípticas e outras propriedades importantes, infelizmente este artigo só foi descoberto após a sua morte.

Jacobi escreveu um tratado clássico sobre as funções elípticas, de grande importância em Física-Matemática, pois estas funções estão relacionadas com a energia cinética de corpos rígidos em rotação. Além disso, Jacobi foi o primeiro matemático a aplicar as funções elípticas a Teoria dos Números, provando o teorema sobre números poligonais de Fermat.

Como exemplo introdutório a essas funções, vejamos a integral elíptica de primeira espécie. Se

[;u = \int_{0}^{v} \frac{dx}{\sqrt{(1 - k^2x^2)(1 - x^2)}}\qquad (1);]

[;u;] é uma função de [;v;], isto é, [;u = f(v);], cujas propriedades tinham sido longamente descritas por Legendre. O que Legendre não vira, e Gauss, Abel e Jacobi viram, é que invertendo a relação funcional entre [;u;] e [;v;], obtém uma função mais bela e útil, [;v = f^{-1}(u);]. A inspiração para esta ideia, deve ter surgido notando que para [;k = 0;], tem-se

[;u = \int_{0}^{v} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin v \quad \Rightarrow \quad v = sin u;]
Para [;k \neq 0;], essa função é em geral escrita como [;v = sn u;] (leia-se "seno amplitude de [;u;]"). As outras funções definidas de modo análogo, são chamadas funções elípticas. Tão impressionado ficou Jacobi com a simplicidade que resultava da simples inversão da relação funcional em integrais elípticas que ele considerava o conselho. "Deve-se sempre inverter" como o segredo do sucesso na Matemática.

A propriedade mais notável dessas novas funções transcendentes superiores era que, como seus três descobridores independentes perceberam, na teoria das variáveis complexas elas têm dupla periodicidade, isto é, existem dois números complexos [;m;] e [;n;] tais que [;v = f(u) = f(u + m) = f(u + n);]. Ao passo que as funções trigonométricas têm somente um período real igual a [;2\pi;].

No desenvolvimento da teoria das funções elípticas, autores modernos frequentemente usam a notação de Karl Weierstrass. Esta notação é baseada em suas funções [;p;], de modo que qualquer função elíptica pode ser expressa em termos delas.

Atualmente, apesar de muitas grades curriculares não possuir este ramo da Matemática, as funções e integrais elípticas possuem muitas aplicações na Teoria dos Números, Álgebra, Geometria, Equações diferencias ordinárias e parciais lineares e não-lineares, Dinâmica, Eletrostática e Teoria do Campo.


Gostará de ler também:
- Uma Breve História das Equações Diferenciais;
- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Adrien Marie Legendre.

6 comentários:

  1. Agora que entrei de ferias todo dia entro no blog para acompanhar as postagens professor, realmente muito bom, as funções elípticas tão importantes na matemática e na física, o interessante também é notar que Kepler já tinha uma noção empírica do funcionamento dessa função quando estudou os movimentos dos planetas, muito bom professor,eu acho que as funções elípticas também não possuem todo o reconhecimento que deveriam, sendo que poucas vezes é abordada em alguns cursos,o blog continua maravilhoso como sempre professor, parabéns.

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  2. É isso aí Joelson que bom que gostou do post. De fato, no Brasil temos a cultura do ensino Álgebra Linear, Variáveis Complexas e Cálculo no Rn, principalmente nos cursos de verão, deixando de lado outras disciplinas que também são muito interessantes, tais como Cálculo Variacional, Cálculo Fracionário, Trigonometria Esférica e Funções Elípticas. Em futuros posts, irei apresentar algumas propriedades das integrais e funções elípticas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Muito bom!
    Agora sei alguns exemplos de funções eliptícas.
    Só não entedi quando a minha professora disse que elas não são integraveis poderia me explicar?
    Por favor
    mande para fagner_geomat@hotmail.com

    muito agradecido e sucesso com o blog.

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  4. Professor, estou fazendo uma pesquisa sobre Integrais Elípticas. Gostaria muito se o Senhor me indicasse fontes para estudo(para mili_monique@yahoo.com.br). A sua postagem é muito interessante me esclareceu muito. Grata.

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  5. Neste link disponibilizo um excelente livro sobre funções elípticas.

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/08/livro-de-analise-e-funcoes-elipticas.html

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  6. Muito obrigada, professor!!
    O senhor é muito atencioso, parabéns!

    Grata,

    Milena MOnique

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