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Uma Breve História do Cálculo Fracionário

Será que existe a derivada meiésima de uma função? Embora para a maioria dos profissionais de exatas, isto parece um absurdo, neste post veremos que o Cálculo Fracionário é tão antigo quanto a própria história do Cálculo.

O Cálculo Fracionário surgiu com a notação da derivada [;d^ny/dx^n;] criada por Leibniz em [;1695;], especificamente em uma carta do Marquês de L'Hôspital

"Sua notação... caro amigo Leibniz, para derivadas agradou-me muito, porém tenho uma dúvida. Qual é a interpretação matemática quando [;n;] for [;1/2;], [;1/3;], [;2/5;], etc.?..."

A resposta de Leibniz a L'Hôspital é a seguinte:

"...Sua pergunta é um paradoxo. No entanto, estou certo de que, mais dias, menos dias, alguém encontrará um interpretação e consequentemente aplicará as derivadas fracionárias!..."

Brilhantes matemáticos, tais como Euler, Lagrange, Laplace, Fourier, Abel, Heaviside, Liouville, entre outros estudaram o assunto levando às primeiras definições de derivadas e integrais de ordens não-inteiras e que no final do século XIX, devido as definições propostas por Riemann e Liouville pareciam estar completas.

A idéia de um derivada de ordem genérica também não escapou da atenção de Euler que em [;1730;] escreveu que a dificuldade em se obter tais derivadas poderia ser mais bem entendida com o auxílio de interpolações na derivada.

Já Lagrange contribuiu de maneira indireta para o Cálculo Fracionário quando, em [;1772;], desenvolveu a assim chamada lei dos expoentes, isto é

[;\frac{d^m}{dx^m}\frac{d^n}{dx^n}y = \frac{d^{m+n}y}{dx^{m+n}};]

Embora tenha sido demonstrado que a lei dos expoentes não é válida para toda função [;y;], quando [;n;] e [;m;] são arbitrários, esta foi de grande utilidade no desenvolvimento da teoria do Cálculo Fracionário.

Em [;1812;], Laplace definiu a derivada fracionária em termos de uma integral, e em [;1819;] a primeira menção, em um texto científico, às derivadas de ordem fracionária foi feita por Lacroix. Em um livro de mais de [;700;] páginas, Lacroix dedicou menos de duas destas a um problema que visava obter a derivada de ordem fracionária de um polinômio [;y = x^m;]. Para tanto, partiu do seguinte fato: No caso em que [;n ;] é um número natural temos, para [;m \geq n;], que

[;\frac{d^n}{dx^n}y = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n};]

sendo assim, fazendo uso da função gama

[;\Gamma(n) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx;]

poder-se-ia concluir que quando [;n;] não é um número natural, temos

[;\frac{d^n}{dx^n}y = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-n+1)}x^{m-n};]

Um caso particular da equação acima pode ser obtido tomando-se [;m = 1;] e [;n = 1/2;], para obter

[;\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}y = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}};]

É interessante notar que apesar de ser em certa instância ingênua, a dedução feita por Lacroix coincide, neste caso, com a obtida pelo método mais aceito nos tempos atuais, ou seja, o método proposto por Riemann-Liouville, entretanto esta, ao contrário daquela, possibilita várias aplicações interessantes. Uma primeira aplicação do Cálculo Fracionário foi a solução do problema da Tautócrona apresentada por Abel em [;1820;].

Até o final do século XIX, o desenvolvimento do Cálculo Fracionário deu-se estritamente no campo da matemática pura, sem grandes aplicações em outras áreas. Entretanto, em [;1969;] M. Caputo resolveu problemas de viscoelasticidade utilizando uma nova definição, proposta por ele, para a derivada de ordem fracionária. Sua definição de derivada fracionária também foi usada para descrever problemas de sismologia.

A maneira canônica de se utilizar o cálculo fracionário para refinar a descrição de um fenômeno é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que o descreve, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, este método nos conduz a equções diferenciais de ordem não-inteira e à necessidade de se resolver tais equações; entretanto métodos efetivos de se resolver tais equações não podem ser encontrados nem nos mais avançados trabalhos acerca do Cálculo Fracionário. Isto somado ao fato de termos uma série de definições não equivalentes para a derivada fracionária e uma não evidente interpretação nem física nem geométrica, contribuiu para a não utilização em larga escala do Cálculo Fracionário.

Outro fator que faz com que a solução de uma equação diferencial de ordem não-inteira costume ser mais complexa do que a da respectiva equação de ordem inteira advém do fato de o conhecimento das funções inerentes ao Cálculo Fracionário não ser tão avançado quanto o conhecimento das funções relacionadas ao Cálculo de ordem inteira, as assim chamadas funções especiais.

Dentre as funções relacionadas ao Cálculo Fracionário, uma das mais importantes é a função de Mittag-Leffler, que tem um papel fundamental no estudo de equações diferenciais de ordem não-inteira. A função original, contendo um parâmetro complexo, foi introduzida em [;1903;] pelo matemático sueco Gosta Mittag-Leffler como uma generalização para a função exponencial. Em [;1905;] Wiman e mais tarde Humbert-Agarwal introduziram a assim chamada função de Mittag-Leffler de dois parâmetros como uma possível generalização para a função de Mittag-Leffler original. Esta função tem aplicação em diversos problemas envolvendo derivadas fracionárias.

Em [;1998;], Lorenzo e Hartley propuseram uma interpretação geométrica para esta derivada utilizando esta mesma definição. Nas últimas décadas diversos autores mostraram que a modelagem feita a partir do Cálculo Fracionário oferece uma descrição mais fina de fenômenos naturais que aquela feita a partir do Cálculo usual, proporcionando um excelente ferramenta para descrever as propriedades hereditárias de diversos materiais, como por exemplo, polímeros.

Referência Bibliográfica:

- Camargo, Rubens de Figueiredo. Cálculo Fracionário e Aplicações. Tese de Doutorado, Unicamp, Campinas, 2009.

Gostará de ler também:
- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Uma Breve História das Equações Diferenciais;
- Uma Breve História das Funções Elípticas.

24 comentários:

  1. Parabéns pelo blog! Gostei bastante.

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  2. Obrigado Felipe pelos elogios ao trabalho de divulgação que estou fazendo. Volte sempre!

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  3. Sem duvidas fascinante professor, eu mesmo nunca pensei muito na derivada fracionaria, como você bem disse para muitos profissionais da área de exatas isso pode ser até um absurdo, gostei muito mesmo professor, a e uma duvida, como você consegue inserir imagens em latex no blog?Otimo post professor, o blog melhora a cada dia!

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  4. Que bom que gostou Joelson. Este é um assunto muito pouco abordado e espero escrever mais sobre derivadas fracionárias em futuros posts. Quanto a sua dúvida, as imagens não estão em latex, as equações que foram digitadas em latex. Para isso, basta usar o firefox, instalar o programa graseymonkey e digitar as expressões entre colchetes e ponto e vírgula. Para saber mais acesse a comunidade Matemática do Orkut e digite Latex no Orkut. Abraços e volte sempre.

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  5. Olá! Muito interessante. Será que dá pra mostrar uma aplicação (do cálculo fracionário) num post futuro?

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  6. Em breve resolverei o problema tautócrono através deste Cálculo. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  7. Muito bom. Não fazia ideia da existência do cálculo fracionário.

    Achei curiosa a não validade geral para a Lei dos Expoentes. E fiquei com a dúvida de qual seria o domínio dessa lei. Ou seja, o conjunto de funções para as quais a lei possui validade.

    Mais um assunto a entrar na minha lista de estudos. Obrigado.

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  8. Seria absurdo imaginar as derivadas de ordem arbitrária como interpolações das derivadas de ordem inteira, professor?

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  9. Diferente das derivadas comuns e apesar delas reduzirem a essas derivadas quando a ordem é inteira, não descobriu nenhuma interpretação geométrica para as derivadas fracionárias, por isso, falar de interpolação fica meio estranho. Irei apresentar mais posts sobre esse assunto e mostrar que [;D^{1/2}D^{1/2} x;] = D x = 1;]. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  10. Pelo primeiro paragrafo do seu Post, vejo claramente que vc tb foi aluno do Curso de calculo do Prof. Ricieri. Parabens,interessante e esclarecedor, principalmente por tratar-se de tema de dificil acesso mesmo qdo se tenta tratar do assunto com professores universitorios.

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  11. O primeiro parágrafo eu tirei de uma revista da Prandiano cujo autor é o Prof. Ricieri e como foi apenas este parágrafo, eu não citei na bibliografia. Infelizmente eu não fui aluno do Prof. Ricieri, mas li ganhei uma coleção de livros em que o doador me pediu para divulgar alguns assuntos desta obra. Agradeço pelo comentário e volte sempre.

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  12. Olá Prof Paulo e demanis alunos;

    Meu nome é Rubens de Figueiredo Camargo, sou doutor pela UNICAMP, em cálculo fracionário e atualmente sou prof da faculdade de ciências da UNESP de Bauru.

    Meu trabalho de doutorado, referência do presente texto, foi feito em parceria com o prof. Edmundo Capelas e teve uma série de consequências principalmente no que diz respeito às aplicações do cálculo fracionário, e das equações de ordem fracionária como ferramenta para se refinar a descrição de fenômenos naturais, tendo sido condecorado com a menção honrosa da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada.

    Agradeço por ter divulgado tanto o meu trabalho e me coloco à disposição para eventuais esclarecimento ou até mesmo palestras.

    Rubens

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  13. Ah, já ia me esquecendo, provavelmente ainda este ano eu e o professor Edmundo vamos lançar o livro "Introdução ao Cálculo Fracionário" e o seu exemplar já está separado!

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  14. Olá Rubens, este é o papel do blog de divulgar alguns assuntos matemáticos fora da esfera de tópicos comuns e muito presentes nas pós-graduações. Primeiramente, fico muito agradecido com os seus comentários e gostaria sim de receber um exemplar deste livro, fazendo inclusive a divulgação do mesmo através de uma postagem.

    Li superficiamente a sua tese sobre Cálculo Fracionário e fiquei fascinado de ter encontrado este material em português, o que valoriza ainda mais o conhecimento matemático no Brasil.

    Sendo você uma pessoa especializada na área, fica o convite de me enviar um pequeno artigo introdutório sobre o assunto para ser publicado aqui no blog. O texto pode ser elaborado em pdf ou doc em pode ser enviado para linnux2001@gmail.com

    Abraços e muito obrigado pelo comentário e sua presença no meu humilde blog.

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  15. eu pensava em derivada de ordem frcionária como uma extenção do teorema do valor médio:

    [;\frac{d^2}{dx^2}f(x)-\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d^{i}}{dx^{i}};]

    onde [;1\leq i\leq 2;]

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  16. Não, o sentido é exatamente o que palavra quer dizer, ou seja, no lugar n natural, temos um p racional. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  17. Este realmente é um assunto fascinante, este foi o tema de monha monografia, que apresentei este ano na UFRRJ. Pena não termos uma divulgação ampla do tema.
    Parabéns professor Paulo, ótimo tópico.

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    1. Olá Leandro que bom que gostou do post. Fiquei curioso em ver a sua monografia. Se quiser enviar para o e-mail linnux2001@gmail.com eu agradeço. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  18. Prof., suponha que exista um plano tautócrono de comprimento muito, muito longo. Suponhamos também que existam duas esferas, A e B, sendo que o coeficiente de atrito entre elas e o plano é nulo.
    Se soltarmos a esfera A de uma extremidade do plano e soltarmos a esfera B de um ponto próximo ao "início" da curva, os dois terão que chegar ao mesmo tempo no "início" da curva, certo? Mas, se o objeto A precisar adquirir uma velocidade extremamente grande para chegar junto com a esfera B, e esta velocidade ser grande o suficiente a ponto de extrapolar a velocidade da luz. O que acontece? O que predomina, a matemática ou a física?
    Abraço, prof!

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    1. Perdão pelos erros de português.

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    2. Não sei o que acontece, pois eu não sei Teoria da Relatividade.

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  19. Caro professor, meu nome é alberto raicer de farias e adorei seu blog e gostaria de saber se posso utiliza-lo para divulgar um método de obter tabuadas de naturais maiores que 10 e menores que 99. Em caso, afirmativo, como devo proceder pois o método além de auto-corretivo tb pode tem muitas possibilidades de apresentação. Um abraço

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    1. Envie um breve artigo elaborado no Word para eu avaliar no o e-mail linnux2001@gmail.com

      No blog tem uns posts sobre cálculos mentais. Veja na página lateral à direita.

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