Uma Breve História do Cálculo Fracionário

Será que existe a derivada meiésima de uma função? Embora para a maioria dos profissionais de exatas, isto parece um absurdo, neste post veremos que o Cálculo Fracionário é tão antigo quanto a própria história do Cálculo.

O Cálculo Fracionário surgiu com a notação da derivada criada por Leibniz em , especificamente em uma carta do Marquês de L'Hôspital

"Sua notação... caro amigo Leibniz, para derivadas agradou-me muito, porém tenho uma dúvida. Qual é a interpretação matemática quando for , , , etc.?..."

A resposta de Leibniz a L'Hôspital é a seguinte:

"...Sua pergunta é um paradoxo. No entanto, estou certo de que, mais dias, menos dias, alguém encontrará um interpretação e consequentemente aplicará as derivadas fracionárias!..."

Brilhantes matemáticos, tais como Euler, Lagrange, Laplace, Fourier, Abel, Heaviside, Liouville, entre outros estudaram o assunto levando às primeiras definições de derivadas e integrais de ordens não-inteiras e que no final do século XIX, devido as definições propostas por Riemann e Liouville pareciam estar completas.

A idéia de um derivada de ordem genérica também não escapou da atenção de Euler que em escreveu que a dificuldade em se obter tais derivadas poderia ser mais bem entendida com o auxílio de interpolações na derivada.

Já Lagrange contribuiu de maneira indireta para o Cálculo Fracionário quando, em , desenvolveu a assim chamada lei dos expoentes, isto é

Embora tenha sido demonstrado que a lei dos expoentes não é válida para toda função , quando e são arbitrários, esta foi de grande utilidade no desenvolvimento da teoria do Cálculo Fracionário.

Em , Laplace definiu a derivada fracionária em termos de uma integral, e em a primeira menção, em um texto científico, às derivadas de ordem fracionária foi feita por Lacroix. Em um livro de mais de páginas, Lacroix dedicou menos de duas destas a um problema que visava obter a derivada de ordem fracionária de um polinômio . Para tanto, partiu do seguinte fato: No caso em que é um número natural temos, para , que

sendo assim, fazendo uso da função gama

poder-se-ia concluir que quando não é um número natural, temos

Um caso particular da equação acima pode ser obtido tomando-se e , para obter

É interessante notar que apesar de ser em certa instância ingênua, a dedução feita por Lacroix coincide, neste caso, com a obtida pelo método mais aceito nos tempos atuais, ou seja, o método proposto por Riemann-Liouville, entretanto esta, ao contrário daquela, possibilita várias aplicações interessantes. Uma primeira aplicação do Cálculo Fracionário foi a solução do problema da Tautócrona apresentada por Abel em .

Até o final do século XIX, o desenvolvimento do Cálculo Fracionário deu-se estritamente no campo da matemática pura, sem grandes aplicações em outras áreas. Entretanto, em M. Caputo resolveu problemas de viscoelasticidade utilizando uma nova definição, proposta por ele, para a derivada de ordem fracionária. Sua definição de derivada fracionária também foi usada para descrever problemas de sismologia.

A maneira canônica de se utilizar o cálculo fracionário para refinar a descrição de um fenômeno é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que o descreve, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, este método nos conduz a equções diferenciais de ordem não-inteira e à necessidade de se resolver tais equações; entretanto métodos efetivos de se resolver tais equações não podem ser encontrados nem nos mais avançados trabalhos acerca do Cálculo Fracionário. Isto somado ao fato de termos uma série de definições não equivalentes para a derivada fracionária e uma não evidente interpretação nem física nem geométrica, contribuiu para a não utilização em larga escala do Cálculo Fracionário.

Outro fator que faz com que a solução de uma equação diferencial de ordem não-inteira costume ser mais complexa do que a da respectiva equação de ordem inteira advém do fato de o conhecimento das funções inerentes ao Cálculo Fracionário não ser tão avançado quanto o conhecimento das funções relacionadas ao Cálculo de ordem inteira, as assim chamadas funções especiais.

Dentre as funções relacionadas ao Cálculo Fracionário, uma das mais importantes é a função de Mittag-Leffler, que tem um papel fundamental no estudo de equações diferenciais de ordem não-inteira. A função original, contendo um parâmetro complexo, foi introduzida em pelo matemático sueco Gosta Mittag-Leffler como uma generalização para a função exponencial. Em Wiman e mais tarde Humbert-Agarwal introduziram a assim chamada função de Mittag-Leffler de dois parâmetros como uma possível generalização para a função de Mittag-Leffler original. Esta função tem aplicação em diversos problemas envolvendo derivadas fracionárias.

Em , Lorenzo e Hartley propuseram uma interpretação geométrica para esta derivada utilizando esta mesma definição. Nas últimas décadas diversos autores mostraram que a modelagem feita a partir do Cálculo Fracionário oferece uma descrição mais fina de fenômenos naturais que aquela feita a partir do Cálculo usual, proporcionando um excelente ferramenta para descrever as propriedades hereditárias de diversos materiais, como por exemplo, polímeros.

Referência Bibliográfica:

- Camargo, Rubens de Figueiredo. Cálculo Fracionário e Aplicações. Tese de Doutorado, Unicamp, Campinas, 2009.

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