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domingo, 13 de fevereiro de 2011

Um Convite à Geometria Fractal

Uma das áreas recentes da Matemática é a geometria fractal, desbravada por Benoit Mandelbrot [;(1924-2010);] que cunhou termo "fractal" em [;1975;]. Em termos gerais, trata-se de um método matemático para lidar com as aparências irregularidades do mundo natural, revelando sua estrutura oculta.

O tema é mais bem conhecido por seus gráficos que na maioria das vezes são gerados por funções simples, tais como [;z^2 + C;], [;e^z;], [;\sin z;], etc. As formas tradicionais da geometria euclidiana são triângulo, quadrados, circunferências, cones, esferas e afins. Ela são simples, e não têm nenhuma estrutura detalhada em particular. Se você ampliar uma circunferência, por exemplo, qualquer porção se parecerá mais e mais com uma linha reta sem grandes características distintivas. Essas formas desempenharam um papel proeminente na ciência - por exemplo, a Terra tem a forma aproximada de uma esfera, e para muitos propósitos, esse nível de detalhamento é suficiente.

Mas diversas formas naturais são muito mais complexas. As árvores são uma massa de ramos, as nuvens são vagas e enroladas, as montanhas são entalhadas, os litorais são sinuososos... Para compreender matematicamente essas formas, e para resolver problemas relacionados a elas, precisamos de novas complexidades. A oferta de problemas, por sinal, é infindável - como as árvores dissipam a energia do vento, como as ondas erodem o litoral, como a água corre das montanhas para os rios? São questões práticas, muitas vezes ligadas à ecologia e ao meio-ambiente, e não apenas a problemas teóricos.

Os litorais são bons exemplos. São curvas sinuosas, mas não podemos usar qualquer curva sinuosa já conhecida. Eles possuem uma propriedade curiosa: são muito parecidos em qualquer escala do mapa. Mas se o mapa mostrar mais detalhes, poderemos distinguir sinuosidades adicionais. A forma exata varia, mas a "textura" parece essencialmente a mesma. O jargão nesse caso é "estatisticamente autosimilar". Todas as características estatísticas de uma costa, como a proporção de baías de um certo tamanho, são as mesmas, independentemente do nível de ampliação em que estejamos trabalhando.

Mandelbrot criou a palavra fractal para descrever qualquer forma que tenha uma estrutura intrincada, independentemente do quanto a ampliemos. O fractal não precisa ser estatisticamente autossimilar - mas fractais com essa característica são mais fáceis de compreender. E os fractais exatamente autossimilares são ainda mais interessantes - foi deles que surgiu o tema.

Cerca de um século atrás, os matemáticos inventaram várias formas estranhas para diversos propósitos esotéricos. Essas formas não eram apenas estatisticamente autossimilares - eram exatamente autossimilares. Quando adequadamente ampliadas, o resultado parecia idêntico ao original. A mais famosa é a curva do floco de neve, inventada por Helge von Koch.

Cada curva componente é exatamente autossimilar (embora o floco de neve como um todo não seja). Essa forma é regular demais para representar um litoral real, mas seu grau de sinuosidade é aproximadamente correto, e curvas menos regulares formadas da mesma maneira realmente parecem litorais. O grau de sinuosidade pode ser representado por um número, chamado dimensão fractal.

Para mostrar como isso funciona, vou tomar algumas formas não fractais mais simples e ver como se encaixam em diferentes escalas de ampliação. Se eu partir uma reta em pedaços com [;1/5;] do tamanho, preciso de [;5;] delas para reconstruir a reta. Com um quadrado, preciso de [;25;] pedaços, que é [;5^2;]. E com cubos, preciso de [;125;] que é [;5^3;].

A potência sobre o [;5;] em cada caso é igual à dimensão da forma em questão: [;1;] para a reta, [;2;] para um quadrado, [;3;] para um cubo. Em geral, se a dimensão é [;d;] e queremos encaixar [;k;] pedaços de tamanho [;1/n;] de modo a remontar a forma original, então [;k = n^d;]. Usando logaritmos, descobrimos que

[;\frac{\log k}{\log n};]

Veremos como podemos usar essa fórmula para determinar a dimensão da curva de Koch. Observe que na segunda etapa da figura acima, precisamos de [;k = 4;] pedaços, cada um com um [;1/3;] do tamanho, portanto [;n=3;]. Assim,

[;d = \frac{\log 4}{\log 3} \simeq 1,2618;]

Dessa forma, a "dimensão" da curva do floco de neve não é um número inteiro! Isso seria ruim se quiséssemos pensar em "dimensões" do modo convencional, como o número de direções independentes disponíveis. Mas está tudo bem se o que quisermos for uma medida numérica da sinuosidade, com base na autossimilaridade. Uma curva com dimensão [;1,2618;] é mais sinuosa que uma curva com dimensão [;1;], como uma linha reta; mas é menos sinuosa que uma curva de dimensão [;1,5;], por exemplo.

Há dezenas de maneiras tecnicamente distintas de definir a dimensão de um fractal. A maior parte delas funciona quando o fractal não é autossimilar. A definição usada pelos matemáticos é chamada dimensão de Hausdorff-Besicovitch. É uma coisa espinhosa de se definir e de se calcular, mas tem propriedades agradáveis.

Uma classe relativamente simples na Matemática é o conjunto de Cantor que é um subconjunto do intervalo [;[0,1];] definido pelo matemático Georg Cantor através de um processo iterativo. Partindo do intervalo [;A_0 = [0,1];], no primeiro passo, retira-se o terço do meio do intervalo obtendo:

[;A_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1];]

No passo [;2;], retira-se o terço do meio de cada intervalo criados pelo passo [;1;] para obter

[;A_2 = [0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{3}{9}]\cup [\frac{6}{9},\frac{7}{9}]\cup [\frac{8}{9},1];]

O conjunto de Cantor é definido como a interseção dos conjuntos [;A_n;] produzidos, ou seja,

[;C_{1/3} = \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n;]

Árvores e samambaias são pseudo-fetos naturais que podem ser modelados em computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de recursividade ou repetitividade está na clara nestes exemplos: num ramo de uma árvore ou na folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica - não idêntica, porém na estrutura - na miniatura do todo.

Os fractais avançaram muito, sendo hoje em dia usados como modelos matemáticos em muitas área da ciência. Um exemplo de um belo fractal natural é um tipo de couve flor chamado brócolis romanesco. Cada flor tem essencialmente a mesma forma que o brócolis inteiro, e tudo está disposto em uma série de espirais de Fibonacci cada vez menores.

Os meteorologistas também usam os fractais para verificar as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais e árvores. As técnicas fractais também estão sendo empregadas para a compactação de imagens de vídeo através da compressão fractal, além das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.

Referência Bibliográfica:
- Stewart, Ian. Almanaque das Curiosidades Matemáticas. Ed. Zahar, Rio de Janeiro, 2009.
- http://pt.wikipedia.org/

Gostará de ler também:
-
Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Uma Breve História do Cálculo Fracionário;
- Uma Breve História das Funções Elípticas;
- Uma Breve História das Equações Diferenciais.

6 comentários:

  1. Muito bom o tópico. É uma ideia interessante essa de que possam existir dimensões como números não inteiros.

    Também estou pensando numa viagem(no bom sentido, é claro) dessas: provar que Pitágoras estava certo em dizer que todo número pode ser escrito na forma de fração. Eu sei que existe uma prova que mostra, por exemplo, que raiz de 2 é irracional, mas desde que me mostraram esta prova eu sempre desconfiei dela. O argumento que eu tenho na minha busca é o seguinte: se a fração é uma parte de um todo, e temos um segmento de 2 u.c. e queremos marcar a raiz de 2, haveria como escrever uma fração que mostrasse o quanto raiz de 2 representa em 2, por exemplo.

    Na verdade, o assunto é mais complexo. Talvez possa ser lutar contra o que não posso lutar, isto é, contra a verdade, mas com certeza já estou descobrindo várias coisas interessantes. E quem sabe um novo entendimento para as frações.

    Não é que eu descorde, mas é que eu quero encontrar provas mais profundas que garantam isso, e nesse caso, a melhor forma é duvidar.

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  2. Realmente Pedro a ideia que existem objetos com dimensões não-inteiras é muito surpreendente. Não devemos desconfiar de uma prova pelo fato dela ser estranha, principalmente as famosas. Temos sim que desconfiar da nossa própria forma de pensar e da nossa própria incapacidade de entender alguns assuntos matemáticos. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Só uma correção, professor, meu nome é João, e não Pedro. Hehehehe.

    É, há várias coisas interessantes quando falamos de números irracionais. Uma bem interessante é o caso das dízimas periódicas. Elas são ou não são números irracionais? Obviamente, para quem conhece um pouquinho de Matemática, sabe que elas não são irracionais.

    Mas, esses dias eu estava com um problema enquanto escrevia aquele programa que eu comentei em outro post sobre Sistemas Lineares e Circuitos Elétricos. O problema é o seguinte: como transformar um número decimal em uma representação fracionária no computador? Eu tentei fazer do mesmo jeito que faço para transformar um número decimal em um número fracionário: multiplico por uma fração do tipo 10^n/10^n, para um n que deixe o denominador inteiro.

    Aparentemente simples. Mas, eu colocava o número "1,1" e me retornava uma fração gigantesca. E eu fiquei uns quatro dias encucado tentando achar o problema. Não sei se o senhor sabe como é que se representa um número binário com vírgula? Mas, o fato é que é impossível representar o número 1,1 em forma binária. Seria o mesmo que representar 1/3 na forma decimal. Não temos como fazer um representação exata: 1,3333...

    Isso fez virem novas ideias a respeito dos irracionais. E se raiz de 2 fosse uma dízima periódica? Ou melhor, uma dízima periódica uniformemente variada. Tenho algumas ideias sobre isso, mas não cheguei numa conclusão ainda.

    E uma das coisas mais legais em se aprender Matemática é começar a procurar seus problemas... Assim, você começa a entender porque surgiram várias coisas, muitas delas que nem são dadas no colégio.

    É isso.
    Abraços.

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  4. Ops! No final do terceiro parágrafo eu quis dizer, numerador.

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  5. Me desculpe João Felipe pela troca do nome, pois são tantos que comentam por aqui. Tem um modo sim de representar qualquer número real na forma binária. Acho melhor eu explicar isso em um futuro post. Agradeço pela dica e volte sempre!

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  6. Ok. Ficarei esperando pelo post então.

    Abraços.

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