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Uma Breve História das Matrizes e Determinantes

O início das matrizes e determinantes remontam ao século II a.C. embora alguns vestígios desse assunto foi encontrado no século VI a.C. Somente no final do século XVII que as ideias reapareceram e desenvolveram até os dias atuais.

Não é de estranhar que o início de matrizes e determinantes está intimamente relacionado com o estudo dos sistemas lineares. Os babilônios estudaram problemas que levam a resolução de um sistema linear de duas variáveis e duas equações, sendo que alguns destes problemas foram preservados em tabletas de argilas.

Os chineses, entre [;200\ a.C;] e [;100\ a.C.;] chegou muito mais perto de matrizes que os babilônios. Na verdade, é justo dizer que o texto Nove Capítulos da Arte Matemática escrito durante a dinastia Han dá o primeiro exemplo conhecido de métodos de matriz. Vejamos um problema contido neste texto.

Existem três tipos de milho, dos quais três feixes é do primeiro tipo, dois do segundo, e um do terceiro fazem [;39;] medidas. Dois do primeiro, três do segundo e um do terceiro fazem [;34;] medidas. E um do primeiro, dois do segundo e três do terceiro fazem [;26;] medidas. Quantas medidas de milho estão contidos em um pacote de cada tipo?

O autor deste problema faz algo bastante notável. Ele define os coeficientes de três equações lineares a três incógnitas com uma tabela abaixo:

[;1 \qquad \qquad 2 \qquad \qquad 3\\2 \qquad \qquad 3 \qquad \qquad 2\\3 \qquad \qquad 1 \qquad \qquad 1\\26 \qquad 34 \qquad 39;]

Em notação moderna, se [;x\;], [;y;] e [;z;] denotam os três tipos de milhos, escrevemos:

[; \begin{bmatrix}3 & 2 & 1\\2 & 3 & 1\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}39\\34\\26\\\end{bmatrix};]

Observe que a única diferença desses dois métodos é que nós escrevemos as equações lineares como as linhas da matriz em vez de colunas.

Mais notavelmente o autor, escrito em [;200\ a.C.;], instrui o leitor a multiplicar a coluna do meio por [;3;] e subtrair a coluna da direita tantas vezes quanto possível, o mesmo é então feito subtraindo-se a coluna da direita tantas vezes quanto possível a partir de [;3;] vezes a primeira coluna. Isto nos dá

[;0 \qquad \qquad 0 \qquad \qquad 3\\4 \qquad \qquad 5 \qquad \qquad 2\\8 \qquad \qquad 1 \qquad \qquad 1\\39 \qquad 24 \qquad 39;]

Em seguida a coluna mais à direita é multiplicada por [;5;] e, em seguida, a coluna do meio é subtraída o número de vezes possível. Isto nos dá

[;0 \qquad \qquad 0 \qquad \qquad 3\\0 \qquad \qquad 5 \qquad \qquad 2\\36 \qquad \qquad 1 \qquad \qquad 1\\99 \qquad 24 \qquad 39;]

a partir do qual a solução pode ser encontrada para o terceiro milho, em seguida, para o segundo, então o primeiro por retrosubstituição. Este método, hoje conhecido desde do século [;XIX;].

Girolamo Cardano, em Ars Magna ([;1545;]), dá uma regra para a solução de um sistema de duas equações lineares que ele chama de regulamentação de Modo. Esta regra dá o que é essencialmente a regra de Cramer para resolver sistemas lineares [;2\times 2;].

Muitos resultados da teoria padrão de matrizes elementares apareceu pela primeira vez muito antes das matrizes serem objetos de investigação matemática. Por exemplo, de Witt em seus Elementos de Curvas, publicado como parte dos comentários sobre a versão latina de [;1660;] da Geométrie de Descartes, mostrou como uma transformação de eixos rediuz uma equação dada para uma cônica a transforma na forma canônica. Isso equivale a diagonalização de uma matriz simétrica, mas de Witt nunca pensou nesses termos.

A ideia de um determinante apareceu no Japão e na Europa quase simultâneamente, embora o matemático Seki no Japão publicou suas ideias antes. Em [;1683;], Seki escreveu Método de Resolver os Problemas Dissimulados que contém métodos matriciais escrito como tabelas exatamente do jeito que os métodos chineses acima foram construídos.

Sem ter qualquer palavra que corresponda a "determinante" Seki ainda introduziu determinantes e deu métodos gerais para o seu cálculo com base em exemplos. Usando seus "determinantes" Seki foi capaz de encontrar os determinantes de ordem [;2;], [;3;], [;4;] e [;5;] e aplicou-os na resolução de equações, mas não em sistemas de equações lineares.

Extraordinariamente, a primeira aparição de um determinante na Europa apareceu exatamente em [;1683;] com uma carta de Leibniz enviada ao marquês de L'Hôpital. Leibniz estava convencido de que uma boa notação matemática era a chave para o progresso da mesma. Em seus manuscritos inéditos, encontram-se mais de [;50;] maneiras diferentes de notação de sistemas que ele trabalhou durante muitos anos.

Leibniz usou a palavra "resultante" para certas somas combinatoriais de um determinante. Ele provou vários resultados sobre resultantes, incluindo o que é essencialmente a regra de Cramer. Ele também sabia que um determinante pode ser expandindo usando qualquer linha ou coluna - o que é agora chamado de método de Laplace.

Em [;1730;], Mclaurin escreveu seu Tratado de Álgebra, embora não foi publicado até [;1748;], dois anos após sua morte. Ele contém os primeiros resultados publicados sobre os determinantes provando a regra de Cramer para determinantes [;2\times 2;] e [;3\times 3;] e indicando como proceder para os determinantes [;4\times 4;].

Trabalhos sobre determinantes começaram a surgir regularmente. Em [;1764;], Bézout apresentou os determinantes de Vandermonde. Em [;1772;], Laplace afirmou que os métodos introduzidos por Cramer e Bézout eram impraticáveis e, em um artigo onde ele estudou as órbitas dos planetas interiores, ele discutiu a solução de um sistema de equações lineares, sem realmente calculá-lo, usando determinantes. Surpreendemente Laplace usou a palavra "resultante" para o que hoje chamamos de determinante, o que é curioso, é que essa palavra é a mesma usada por Leibniz. Deste modo, Laplace deve ter tido conhecimento dos trabalhos de Leibniz sobre esse assunto.

Determinante foi o termo introduzido pela primeira vez por Gauss em Disquisitiones Arithmeticae ([;1801;]) ao discutir formas quadráticas. Ele usou o termo porque o determinante determina as propriedades da forma quadrática. No entanto, o conceito não é o mesmo que a de nosso determinante. No mesmo trabalho Gauss estabelece os coeficientes de suas formas quadráticas em matrizes retangulares. Ele descreve a multiplicação de matrizes (o que ele pensa em como composição que ele ainda não atingiu o conceito de álgebra matricial) e da inversa de uma matriz no contexto particular das matrizes de coeficientes de formas quadráticas.

O método de eliminação, que ele apareceu pela primeira vez no texto Nove Capítulos da Arte Matemática escrito em [;200\ a.C.;], foi usado por Gauss em seu trabalho que estudou a órbita do asteróide Pallas. Usando observações de Pallas tomadas entre [;1803;] e [;1809;], Gauss obteve um sistema de seis equações lineares em seis incógnitas. Gauss deu um método sistemático para a resolução de equações desse tipo, o que é precisamente o método sobre a matriz coeficiente que conhecemos hoje.

Foi Cauchy que usou "determinante" em seu sentido moderno. O seu trabalho é o mais completo dos primeiros trabalhos sobre determinantes. Ele reprovou os trabalhos anteriores e deu novos resultados sobre esse assunto. No artigo de [;1812;], o teorema sobre a multiplicação de determinantes é provado pela primeira vez, embora, na mesma reunião do Instituto da França, Binet também apresentou um artigo que continha uma prova do teorema da multiplicação, mas foi menos satisfatória do que aquela dada por Cauchy.

Em [;1826;], Cauchy no contexto das formas quadráticas em [;n;] variáveis, encontrou os autovalores e deu resultados sobre a diagonalização de uma matriz. Além disso, ele introduziu a ideia de matrizes semelhantes e mostrou que elas possuem a mesmo polinômio característico.

Jacques Sturm fez uma generalização do problema de autovalor no contexto de resolver sistemas de equações diferenciais ordinárias. Na verdade o conceito de um autovalor apareceu [;80;] antes, mais uma vez no trabalho sobre sistemas de equações diferenciais lineares, por D'Alembert ao estudar o movimento de uma corda com as massas ligadas a ele em vários pontos.

Deve ser salientado que nem Cauchy nem Jacques Sturm percebeu a generalidade das ideias que estavam introduzindo e viu-os somente em contextos específicos em que eles estavam trabalhando. Jacobi, por volta de [;1830;] e depois Kronecker e Weierstrass em [;1850;] e [;1860;] também olhou para resultados da matriz, mas novamente em um contexto especial, desta vez a noção de uma transformação linearl Jacobi publicou três tratados sobre determinantes em [;1841;]. Estes foram importantes na medida em que, pela primeira vez a definição do determinante foi foi feita de forma algorítmica e as entradas no determinante não foram especificadas. Estes três trabalhos de Jacobi fez a ideia de determinante amplamente conhecidos.

Cayley, também escrito em [;1841;], publicou a primeira contribuição inglesa para a teoria dos determinantes. Neste trabalho ele usou duas linhas verticais de ambos os lados da matriz para denotar o determinante, uma notação que agora se tornou padrão.


O primeiro a usar o termo "matriz" foi Sylvester em [;1850;]. Sylvester definiu uma matriz para ser um arranjo retangular de termos e viu-os como algo que levou a vários determinantes de matrizes quadradas nela contida. Depois de deixar a América e voltou para a Inglaterra em [;1851;], Sylvester se tornou advogado e conheceu Cayley e compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta de [;1853;], Cayley havia publicado uma nota apresentando pela primeira vez a inversa de uma matriz.

A nulidade de uma matriz quadrada foi definida por Sylvester em [;1884;]. Ele definiu a nulidade de uma matriz [;A;] de ordem [;n;] como sendo o maior [;i;] tal que todos os [;i;] menores de ordem [;n-1;], são nulos. Sylvester estava interessado em invariantes de matrizes, que é a propriedades que não são alteradas por certas transformações.

Atualmente os conceitos de matrizes e determinantes são importantes nas aplicações físicas, tais como a mecânica quântica e em várias teorias matemáticas que envolvem sistemas lineares.

Gostará de ler também:
- Uma Breve História das Equações Diferenciais;
- Uma Breve História do Cálculo Fracionário;
- Uma Breve História das Funções Elípticas.
- Cayley e a Teoria das Matrizes (Blog O Baricentro da Mente).

6 comentários:

  1. Olá, Paulo!

    Amei essa postagem! Parabéns, parceiro!
    Ficou excelente de verdade!

    Olha! Eu já desconfiava e agora, pelas informações colhidas aqui,sou capaz de apostar que foram mesmo os chineses, os inventores dos chamados... "quadrados mágicos"!

    Estou trabalhando, mais que lentamente até, num método de resolução para eles, segundo... as "solucionáticas", kkkkkkkkkkkk, do profº Valdir! Um dia eu termino e irei, é claro, publicá-lo!

    Um abraço!!!!!

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  2. Obrigado Valdir, a história das matrizes e determinantes é realmente fascinante e acredito também que foram os chineses que inventaram os quadrados mágicos.

    Estaremos aguardando pela sua postagem sobre os quadrados mágicos. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Olá Paulo,

    Excelente! Acho incrível esse papel da História da Matemática em mostrar a evolução de um conceito de forma cronológica. Muito bom mesmo!

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  4. ola, de onde vc colheu essas informações?

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    1. Foi na internet mesmo, mas não me lembro especificamente os locais.

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    2. Este comentário foi removido pelo autor.

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