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A Desigualdade de Bernoulli

Esta desigualdade é devido ao matemático suiço Jacques Bernoulli [;(1654-1705);] e é muito importante para estabelecer alguns teoremas de Cálculo e Análise Matemática. Neste post, veremos esta desigualdade e algumas de suas aplicações.

Proposição 1: (Jacques Bernoulli) Dados [;x \in \mathbb{R};] com [;x \succ -1;] e [;n \in \mathbb{N};], então

[;(1 + x)^n \geq 1 + nx \qquad (1);]

Demonstração: Usaremos indução finita sobre [;n;]. É evidente que ela é válida para [;n=1;]. Suponhamos então que a expressão [;(1);] seja válida e provaremos que ela também é verdadeira para [;n+1;]. De fato,

[;(1 + x)^{n+1} = (1 + x)^n(1 + x);]

[;\geq (1 + nx)(1 + x) =1 + nx + x + nx^2;]

[;= 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x;]

A próxima proposição é uma generalização desta desigualdade.

Proposição 2: Seja [;x \succ -1;]. Então

[;i);] [;(1 + x)^r \leq 1 + rx;] para [;0 \prec r \prec 1;];
[;ii);] [;(1 + x)^r \geq 1 + rx;] para [;r \succ 1;].

Demonstração: Considere a função [;f;] para [;x \succ -1;] dada por

[;f(x) = r\ln(1 + x) - \ln(1 + rx);]
cuja derivada é

[;f^{\prime}(x) = \frac{r}{1 + x} - \frac{r}{1 + rx} = \frac{r[1 + rx - (1 + x)]}{(1 + x)(1 + rx)} =\frac{r(r - 1)x}{(1 + x)(1 + rx)} \qquad (2);]

Caso i) [;0 \prec r \prec 1;]: Neste caso, note que [;-1 \prec r -1 \prec 0;] e [;x \succ -1;]. Analisando a expressão [;(2);], temos:

[;\begin{cases}f^{\prime}(x) \succ 0 \quad \text{para} \quad -1 \prec x \prec 0\\f^{\prime}(0) = 0\\f^{\prime}(x) \prec 0 \quad \text{para} \quad x \succ 0\\\end{cases};]

Pelo teste da primeira derivada, [;f;] assume um máximo global em [;x = 0;]. Assim,

[;f(x) \leq f(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad r\ln(1 + x) - \ln(1 + rx) \leq 0 \quad \Rightarrow;]

[;\ln(1 + x)^r \leq \ln(1 + rx);]

Sendo a função logarítmica crescente, temos o resultado desejado para este caso.

Caso ii) [;r \succ 1;]: Analisando novamente a expressão [;(2);], obtemos:

[;\begin{cases}f^{\prime}(x) \prec 0 \quad \text{para} \quad -1 \prec x \prec 0\\f^{\prime}(0) = 0\\f^{\prime}(x) > 0 \quad \text{para} \quad x \succ 0\\\end{cases};]

Assim, pelo teste da primeira derivada, segue que [;f;] assume um mínimo global em [;x = 0;], de modo que

[;f(x) \geq f(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad (1 + x)^r \geq 1 + rx;]

Analisando a figura abaixo em que [;a > 1;], podemos provar a desigualdade de Bernoulli. O coeficiente angular [;m_1;] é dado por

[;m_1 = \frac{a^x - 1}{x};]
e
[;m_2 = \frac{a - 1}{1 - 0} = a - 1;]
Sendo [;m_1 \succ m_2;], temos:

[;\frac{a^x - 1}{x} \succ a - 1 \quad \Rightarrow \quad a^x - 1 \succ (a - 1)x \quad \Rightarrow \quad [1 + (a - 1)]^x \succ 1 + (a - 1)x;]

Este mesmo resultado pode ser obtido para [;0 \prec a \prec 1;].

Algumas Aplicações da Desigualdade de Bernoulli

Exemplo 1: Mostre que a sequência [;e_n = (1 + 1/n)^n \geq 2;] para todo [;n \in \mathbb{N}^{\ast};].

Resolução: Fazendo [;x = 1/n;] na expressão [;(1);], segue o resultado.

Exemplo 2: Prove que [;\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1;].

Resolução: Substituindo [;x\;] por [;2/n;] na expressão [;(1);], temos

[;\biggl(1 + \frac{2}{n}\biggr)^n \geq 1 + n\cdot \frac{2}{n} = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^{1/n} = \sqrt[n]{3} \leq 1 + \frac{2}{n} \qquad (3);]

para todo [;n \in \mathbb{N}^{\ast};]. Por outro lado, fazendo [;x = -2/(3n) \succ -1;] em [;(1);], segue que

[;\biggl(1 - \frac{2}{3n}\biggr)^n \geq 1 + n\cdot \frac{(-2)}{3n} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad;]

[;\biggl(\frac{3n - 2}{3n}\biggr)^n \geq \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{3n-2}{3n} \geq \sqrt[n]{\frac{1}{3}} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{3n-2}{3n} \geq \frac{1}{3^{1/n}} \quad \Rightarrow \quad \sqrt[n]{3} \geq \frac{3n}{3n-2} \qquad (4);]

De [;(3);] e [;(4);], obtemos a expressão

[;\frac{3n}{3n-2} \leq \sqrt[n]{3} \leq 1 + \frac{2}{n};]

Aplicando o limite em ambos os lados e fazendo [;n \to \infty;], temos

[;\lim_{n \to \infty}\frac{3n}{3n-2} \leq \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{3} \leq \lim_{n \to \infty}\biggl(1 + \frac{2}{n}\biggr) \quad \Rightarrow;]

[;1 \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} \leq 1;]

donde segue o resultado.

Em muitos cálculos de limites usamos o fato que se [;0 \prec x \prec 1;] então [;x^n \to 0;]quando [;n \to \infty;]. Através da desigualdade de Bernoulli, podemos demonstrar facilmente este fato.

Proposição 3: Se [;0 \prec x \prec 1;], então [;\lim_{n \to \infty}x^n = 0;].

Demonstração: Seja [;y = 1/x - 1;]. Então [;y \succ 0;] e

[;y+1 = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{1 + y};]

Para [;n \geq 1;], temos
[;x^n = \frac{1}{(1 + y)^n} \leq \frac{1}{1 + ny} \prec \frac{1}{ny};]
Assim,
[;0 \leq \lim_{n \to \infty} x^n \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ny} = 0;]

donde segue o resultado.

Gostará de ler também:
- O Teste da Primeira Derivada;
- Jacques Bernoulli;
- O Número e;
- Cálculo de Limites Exponenciais.

4 comentários:

  1. Professor, como provar que /x/ - /y/ <= //x/ -/y// <= /x-y/?
    onde posso encontrar essa demonstração?

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    1. Esta demonstração é fácil, mas recomendo que veja o livro Análise na Reta do Geraldo Ávila.

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    2. OK. Muito interessante e elucidativa as explicações de Geraldo Ávila.

      Professor, como provar que não existe racional cujo quadrado seja 12?

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  2. Basta provar que sqrt(3) é irracional, pois a raiz quadrada de 12 é o dobro de sqrt(3). O procedimento é semelhante ao procedimento de provar que sqrt(2) é irracional.

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