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O Problema da Passagem do Guarda-Roupa

A beleza da matemática está em seu poder de resolver os problemas mais variados possíveis. Se temos um problema de raciocínio lógico, uma medida ou uma figura geométrica, podemos empregar a matemática. Em vários livros de cálculos, é apresentado o problema de otimização de passar uma barra de maior comprimento possível entre dois corredores. Veremos neste post, uma generalização do problema da barra cujo enunciado é o seguinte:

"Suponhamos que devemos construir um guarda-roupa de largura [;c;] e que deve passar por dois corredores perpendiculares de largura [;a;] e [;b;], sendo [;0 \prec c \prec a \leq b;]. Determine o maior comprimento de modo que ele passe pelos corredores."


Para resolver este problema de otimização, considere a figura acima. Sendo sua largura constante e igual a [;c;], iremos expressar o seu comprimento em função do ângulo [;\theta;]. Note que

[;OB = bcossec \theta;]

[;AO = a\sec \theta;]

[;AE = c\tan \theta;]
e
[;BF = c\cot \theta;]

Assim,
[;l(\theta) = EF = EO + OF = (AO - AE) + (OB - BF);]

[;= a\sec \theta - c\tan \theta + bcossec \theta - c\cot \theta, \qquad 0 \prec \theta \prec \pi/2;]

Para qual valor de [;\theta;] esta função assume um valor máximo? Para responder esta pergunta, calculamos a derivada de [;l(\theta);] e igualamos a zero, isto é,

[;l^{\prime}(\theta) = a\sec \theta \tan \theta - c\sec^2 \theta - bcossec \theta \cot \theta + ccossec^2 \theta = 0 \quad \Rightarrow;]

[;a\sec \theta \tan \theta + ccossec^2 \theta = c\sec^2 \theta + bcossec \theta \cot \theta \quad \Rightarrow;]

[;\frac{a\sin \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{c}{\sin^2 \theta} = \frac{c}{\cos^2 \theta} + \frac{b\cos \theta}{\sin^2 \theta} \quad \Rightarrow;]

[;a\sin^3 \theta + c\cos^2 \theta = c\sin^2 \theta + bcos^3 \theta \quad (1) \quad \Rightarrow;]

Sendo [;cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta;], então

[;a\sin^3 \theta + c(1 - \sin^2 \theta) - c\sin^2 \theta = b(\cos^2 \theta)^{3/2} \quad \Rightarrow;]

[;(a\sin^3\theta - 2c\sin^2\theta + c)^2 = b^2(1 - \sin^2)^3 \quad \Rightarrow;]

[;a^2\sin^6 \theta + 4c^2\sin^4 \theta + c^2 - 2a\sin^3\theta\cdot 2c\sin^2 \theta +ac\sin^3\theta - 2c^2\sin^2\theta;]

[;= b^2(1 - 3\sin^2\theta + 3\sin^4\theta - \sin^6 \theta);]

Agrupando os termos em potências decrescentes de [;sin\theta;], temos:

[;(a^2 + b^2)\sin^6\theta - 4ac\sin^5\theta + (4c^2 - 3b^2)\sin^4\theta + ac\sin^3\theta +;]

[;+ (3b^2 - 2c^2)\sin^2\theta + c^2 - b^2 = 0;]

Fazendo [;x = \sin \theta;], obtemos

[;f(x) := (a^2 + b^2)x^6 - 4acx^5 + (4c^2 - 3b^2)x^4 + acx^3 +;]

[;+ (3b^2 - 2c^2)x^2 + c^2 - b^2 = 0 \quad (2);]

Como [;0 \prec \theta \prec \pi/2;], então [;0 \prec x \prec 1;]. O comportamento de [;f;]não é alterado para valores muito próximos de [;0;] e [;1;]. Assim, podemos assumir que a função [;f;] pode ser estendida para estes pontos, isto é,

[;f(0) = c^2 - b^2 \prec 0;]
e
[;f(1) = a^2 + b^2 - 4ac + 4c^2 - 3b^2 + ac + 3b^2 - 2c^2 + c^2 - b^2;]

[;=a^2 + 3c^2 - 3ac \succ 2\sqrt{a^2\cdot 3c^2} - 3ac = (2\sqrt{3} - 3)ac \succ 0;]

Sendo [;f;] contínua em [;[0,1];], pelo teorema de Bolzano, existe [;\xi \in [0,1];] tal que [;f(\xi) = 0;]. Pela natureza do problema, notamos que

[;x = \xi = \sin \theta \quad \Rightarrow \quad \theta = \arcsin \xi;]

irá de fato maximar o comprimento do guarda-roupa. Além disso, devido ao fato que a equação acima é do sexto grau, devemos usar métodos numéricos para achar esta raiz.

Exemplo 1: Sejam [;a = 1,5\ m;], [;b = 1,2\ m;] e [;c = 0,8\ m;]. Determine o comprimento máximo do guarda-roupa de modo que ele passe pelos corredores.

Resolução: Substituindo estes valores na expressão [;(2);] acima, temos:

[;f(x) = 3,69x^6 - 4,8x^5 - 1,76x^4 + 1,2x^3 + 3,04x^2 - 0,8 = 0;]

Plotando o gráfico de [;f;]para [;x \in [0,1];] , observamos que existe apenas uma raiz real neste intervalo, conforme a figura abaixo.
Usando o método de Newton ou o Wolfram Alpha, obtemos

[;\xi = 0,541428 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arcsin(0,541428) = 0,572135\ rad \simeq 32,78^{\circ};]

Com este de [;\xi;], podemos facilmente achar o comprimento máximo do guarda-roupa que é dado por

[;l_{max} \simeq 2,24\ m;]

Observação 1: A solução do problema da barra de comprimento máximo que pode passar pelos corredores é obitda da expressão [;(1);] fazendo [;c = 0;], ou seja,

[;a\cos^3 \theta = b\sin^3 \theta \quad \Rightarrow \quad \tan \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}};]

donde segue que o ângulo é dado por [;\theta = \arctan \sqrt[3]{\frac{a}{b}};].

Gostará de ler também:
- Problemas de Otimização Através da Trigonometria;
- A Dobradura de Comprimento Mínimo;
- Zeros de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson Resolvido no Excel (Blog O Baricentro da Mente)

4 comentários:

  1. Oi, Prof Paul Sérgio,

    Isto é que eu chamo de matemática prática. Ainda não tive tempo calmo para ver os detalhes de cálculo, mas mal vejo a hora.

    É um curioso problema geométrico que nunca tinha visto.

    Parabéns!

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  2. Engraçadocomo um problema aparentemente "fácil" de resolver, utiliza ferramentas até "sofisticadas". Por exemplo o conceito de arcosseno, arcotangente, raízes cúbicas. Não é para qualquer um mesmo, já que teriam que utilizar o método de Newton,por exemplo, para encontrar raízes. Quando alguém tiver que fazer a mudança de um guarda-roupa, deve-se contratar primeiro um matemátco!

    Abraços!

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  3. Olá Aloisio, ficarei aguardando a sua análise do problema.

    Olá Kleber, pensei neste problema há dois, como generalização do problema de passar uma barra por dois corredores. Guardei o problema, pois também fiquei surpreendido com a matemática necessária para resolvê-lo. Voltando a analisá-lo neste mês, vi que ele estava certo e resolvi compartilhar aqui no blog.
    Obrigaodo pelos comentários e voltem sempre!

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  4. Oi, Prof. Paulo Sérgio!

    A solução desse problema de maximização do comprimento do guarda-roupa é mostrada aqui de uma maneira pontual e com lógica engrenada.

    Interessante, raramente uma equação de grau relativamente elevado é usado para resolver problemas cotidianos ( digo apenas na minha experiência ).

    E muito bom! É a receita para programar uma planilha eletrônica de forma a inserir os valores das dimensões envolvidas e deixar que a fórmula trabalhe para achar o comprimento do guarda-roupa, estante, sofá, etc. É possível fazer isso ou estou sendo muito otimista?

    Elegante o modo como montou a equação trigonométrica inicial e também a passagem da trigonometria para álgebra por substituição de variável.

    Obrigado, Paulo, por mais um post de excelência!

    Um grande abraço!

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