Membros

quarta-feira

Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 3)

Veremos nesta terceira parte, um dos teoremas mais belos e profundos da Matemática, com muitas aplicações e consequências importantes.

Teorema 1: (Teorema Fundamental do Cálculo) Se [;f;] é uma função contínua em [;[a,b];], e [;F;] é uma primitiva de [;f;] em [;[a,b];], então
[;\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \qquad (1);]

Demonstração: Sendo [;F(x);] e [;A(x);] primitivas de [;f(x);] para [;x \in [a,b];], então existe uma constante [;C;] tal que [;F(x) = A(x) + C;] para todo [;x \in [a,b];]. Fazendo [;x = a;], temos [;F(a) = A(a) + C = C;], pois [;A(a) = 0;] de modo que [;A(x) = F(x) - F(a);]. Fazendo [;x = b;], temos

[;A(b) = \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a);]

Observação 1: Este teorema transforma a difícil tarefa de calcular integrais definidas por meio de cálculo de limites de somas em um problema muito mais fácil de encontrar integrais indefinidas. Portanto, para achar o valor da integral definida

[;\int_{a}^{b}f(x)dx;]

não temos que calcular somatórios construídos a partir da subdivisão do intervalo [;[a,b];]; simplesmente achamos uma integral indefinida

[;F(x) = \displaystyle{\int f(x)dx};]

usando as técnicas de integração estudadas anteriormente e calculamos o número [;F(b) - F(a);].

Corolário 1: (Mudança de variáveis em integrais definidas) Se [;u = g(x);], então

[;\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du;]

Demonstração: Seja [;u = g(x);]. Assim, [;du = g^{\prime}(x)dx;] e se [;x = a;], temos [;u = g(a);] e se [;x = b;], temos [;u = g(b);]. Logo,

[;\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du;]

Definição 1: Seja [;f;] contínua em [;[a,b];]. O valor médio de [;f;] denotado por [;\bar{f};] neste intervalo é definido por
[;\mu = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)dx;]

Teorema 2: Seja [;f;] uma função integrável no intervalo [;[-a,a];], então

i) Se [;f;] é uma função par, isto é, [;f(x) = f(-x);] então

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx;]

[;ii);] Se [;f;] é uma função ímpar, isto é, [;f(-x) = -f(x);] então

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0;]
Demonstração:

[;i);] Note que
[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx;]

Fazendo [;x = -u;] na primeira integral, segue que


[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(-u)(-du) + \int_{0}^{a}f(x)dx = + \int_{0}^{a}f(-u)du + \int_{0}^{a}f(x)dx;]

Usando o fato que [;f;] é par, obtemos

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx;]

[;ii);] De maneira análoga, fazemos [;x = -u;], de modo que

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(-u)(-du) + \int_{0}^{a}f(x)dx = + \int_{0}^{a}f(-u)du + \int_{0}^{a}f(x)dx;]

Usando o fato que [;f;]é uma função ímpar, segue o resultado.

Exemplo 1: Calcule a área sob o gráfico da função abaixo:

Resolução: A primitiva de [;f(x) = 4 - x^2;] é [;F(x) = 4x - \frac{x^3}{3} + C;]. Usando o fato que [;f;] é uma função par, temos:

[;S = 2\int_{0}^{2}(4 - x^2)dx = F(x)]_{0}^{2} = \biggl[4x - \frac{x^3}{3} + C \biggr]_{0}^{2}= \frac{64}{3}\ u.a.;]

Observação 1: Devido ao fato que a constante de integração [;C;] é cancelada na operação acima, é usual escrever [;F(x);] omitindo esta constante.

Exemplo 2: Faça a mudança de variáveis na integral abaixo:

[;\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx;]

Resolução: Sendo o integrando uma função par, pelo teorema 2, temos:

[;\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 2\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx;]

Em seguida, fazemos [;x = \sin \theta;], de modo que [;dx = \cos \theta d\theta;]. Se [;x = 0;], note que [;\sin \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta = 0;] e se [;x = 1;], temos [;\sin \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arcsin 1 = \pi/2;]. Assim,

[;\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 2\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1 - \sin^2 \theta}\cos \theta d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta;]

Gostará de ler também:
- Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 1);
- Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 2);
- A Integral Definida: Conceitos e Propriedades;
- Integrais que Dependem de um Parâmetro;

Nenhum comentário:

Postar um comentário