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A Função Zeta de Euler

Para compreender como surgiu esta função, convém recuar a [;1650;], ano em que foi publicado o livro Novae quadraturae arithmeticae seu se additione fractionum, de Pietro Mengoli. É um sobre somas de séries, duas das quais são

[;\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots;]

e

[;\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots;]

É aí demonstrado que a primeira (a série harmônica) diverge e o autor levanta o problema de saber qual é a soma da segunda. Este problema foi novamente levantado por Jacob Bernoulli em [;1689;]. Três anos mais tarde, o mesmo Jacob Bernoulli começa a estudar as séries

[;\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots;]

para [;s \in \mathbb{N} - \{1\};].

Em [;1735;], Euler provou que a soma da série acima para [;s = 2;] é [;\pi^2/6;] e, pouco tempo depois, mostrou que

[;\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}|B_{2n}|, \qquad n=1,2,\ldots;]

onde [;B_k;] são os números de Bernoulli definidos como os coeficientes da expansão de Taylor da função [;t/(e^t - 1);], isto é,

[;\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}t^k;]

Os primeiros números de Bernoulli são

[;B_0 = 1, \quad B_1 = -\frac{1}{2}, \quad B_2 = \frac{1}{6}, \quad B_3 = 0, \quad B_4 = -\frac{1}{30}, \ldots;]

Uma questão ainda em aberto é se o mesmo e verdadeiro quando o argumento de [;\zeta;] e um inteiro positivo ímpar. Por exemplo, será que [;\zeta(3);] é proporcional a [;\pi^3;]?. Em [;1978;], R. Apéry provou que [;\zeta(3);] é pelo menos irracional. Nos pontos ímpares negativos o valor da função zeta também pode ser expresso em termos dos números de Bernoulli, a saber

[;\zeta(1 - 2n) = -\frac{B_{2n}}{2n}, \qquad n=1,2,\ldots;]
Prova-se que a série
[;\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s};]

é convergente se e somente se [;s \succ 1;].

Definição 1: Seja [;s \succ 1;]. A função zeta de Euler é definida por:

[;\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s};]

A função zeta de Euler também pode ser expressa através de uma integral imprópria dada na proposição seguinte:

Proposição 1: Mostre que

[;\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s - 1}}{e^t - 1}dt;]

Demonstração: Note que se [;f(t) = t^m;], [;m \in \mathbb{N};], então

[;\mathfrak{L}\{t^m\}(p) = \frac{m!}{p^{m+1}};]

de modo que:

[;\mathfrak{L}\biggl\{\frac{t^{s - 1}}{(s - 1)!} \biggr\} = \frac{1}{n^s};]

donde segue que

[;\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \sum_{n=1}^{\infty}\mathfrak{L}\biggl\{\frac{t^{s-1}}{(s - 1)!}\biggr\} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(s - 1)!}\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt;]

[;=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}t^{s - 1}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nt}dt = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s -1}e^{-t}}{1 - e^{-t}}dt;]

[;= \frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t - 1}dt;]

A conexão entre a função zeta de Euler e os números primos é dado pelo seguinte teorema.

Proposição 2: [Produto de Euler] Se [;s \succ 1;], então

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \prod_{p \ primo}\frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} \qquad (1);]

Demonstração: Seguindo as ideias de Euler, para provar esta identidade, notamos que

[;\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \ldots;]

para [;|x| \prec 1;]. Logo, para cada [;p;], temos

[;\frac{1}{1 - 1/p^s} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \ldots;]

Multiplicando essas séries para todos os primos [;p;], e lembrando que cada inteiro [;n \succ 1;] é expresso de modo único como produto de potências de diferentes primos, vemos que

[;\prod_{p \ primo}\frac{1}{1 - 1/p^s} = \prod_{p \ primo}\biggl(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \ldots \biggr);]

[;= 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots + \frac{1}{n^s} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^s};]

Esta proposição mostra que há uma relação entre a função [;\zeta;] de Euler e a distribuição dos números primos. Usando sua função, Euler deduziu dois resultados importantes que apresentamos abaixo.

Corolário 1: [Euclides] Existem infinitos números primos.

Demonstração: Se houvesse um número finito de primos, então o produto do segundo membro de [;(1);] seria um produto finito ordinário e teria evidentemente um valor finito para todo [;s \succ 0;], inclusive para [;s = 1;]. Entretanto, o valor do primeiro membro de [;(1);] para [;s = 1;] é a série harmônica

[;\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots;]

que diverge a infinito pelo teste da integral, o que contradiz o fato que o produtório à esquerda é finito. Logo, existem infinitos primos.



Referências Bibliográficas:

- Santos, José Carlos. A Hipótese de Riemann - 150 anos.

- Simmons, G. B. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. Ed. Makron Books, São Paulo, 1987.

- Du Sautoy, Marcus. A Música dos Números Primos: A história de um problema não resolvido na matemática. Trad. Diego Alfaro, Jorge Zahar Ed. Rio de Janeiro, 2007.


Gostará de ler também:
- A Matemática de Euler (Parte 4);
- Euler: O Mestre de Todos Nós;
- A Identidade de Euler e as Raízes Enésimas de um Número Complexo.

18 comentários:

  1. Oi, Prof. Paulo Sérgio!

    Uma bela síntese histórica.

    Intuitivamente, parece que [;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s};] para [;s;] ímpar, é um múltiplo racional de [;\pi;]. Será que não é possível fazer uma interpolação?

    Até mais.

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  2. Oi! Prof. Paulo Sérgio! Muito bom trazer à tona essa função importantíssima. A conclusão de Euler é coisa de gênio. Há uma outra conclusão que nunca vi comentada mas que eu acho curiosa e bela: como zeta(2)=(pi^2)/6, então se o conjunto dos números primos fosse finito, (pi^2) seria racional...Obrigado abçs

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  3. Estou aprendendo a gostar de Teoria Analítica dos Números. Neste resumo, busquei comentar alguns fatos da função zeta de Euler, pretendo falar brevemente da função zeta de Riemann.

    Também não tinha pensando sobre isso, realmente da identidade de Euler apresentada acima, segue o resultado que você comentou.

    Obrigado a vocês dois pelos comentários e voltem sempre!

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  4. Correcção ao que escrevi. Pretendia dizer:

    Já agora: Apéry demonstrou directamente que zeta(2) era irracional -- o que já se sabia -- decorrendo então do produto de Euler que o conjunto dos números primos é infinito.

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    1. Sr. Tavares! É isso. O que me fascina? Certa vez um aluno me perguntou se o "pi" que aparece na fórmula de Stirling para "n!" seria por causa das permutações circulares. Eu fiquei sem chão. Imagine então como seria difícil tentar explicar a relação de "pi" com os primos. Obrigado....abçs

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  5. sou um autodidata em matematica...e essa funçao zeta e nova parta mim...gostaria de saber,e se possivel ver a demonstraçao de z(0)=-1/2...se alguem postar ficarei muito grato...adauto martins

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  6. Caro leitor, não sei qual é a sua fonte de informação, mas z(0) diverge. Para conhecer mais sobre este problema baixe em pdf este arquivo:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/04/hipotese-de-riemann-um-problema-de-um.html

    Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  7. meu caro prof.paulo,
    tenho lido em alguns trab. sobre essa funçao...ai vai uma referencia...do trab. de maria cecilia n.-valdir aguilheira n.-dpto de mat.unicentro-pr...segue...A figura 2.1 mostra um gráfico da função ζ para valores reais do seu argumento.
    Notemos, en passant, algumas características gerais dessa função, todas elas
    ilustradas na figura. Todos os zeros reais estão no eixo real negativo, localizados nos
    pontos x = −2n, n = 1, 2, . . . , isto é, ζ(−2n) = 0. No caso particular da origem,
    temos ζ(0) = −1/2. Sua única singularidade está em x = 1, onde seu resíduo, como
    veremos, é também 1. Finalmente, ζ(x) > 1 para x > 1 e ζ(x) → 1 quando x → ∞.
    Figura...como nesse texto,vi em outros...pisso minha duvida...adauto martins...
    ps-obrigado por me responder...

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    1. Oi, Adauto! Aqui quem escreve é o Tavano, um admirador deste Blog. Desculpe a imprecisão: Suponhamos que fosse definida a função Z(x)=1+x+x2+x3... onde (x2=x ao quadrado), para x>=1 a série não converge, mas verificamos que Z(X)=1/(1-x) para |x|<1, então para x>1 podemos usar Z(x)=1/(1-x) ao invés da série 1+x+x2+x3...Me parece que por um processo muito mais elaborado que, se não me engano, se chama "Extensão Analítica", os matemáticos definem Zeta(x) para outros valores. Eu tenho uma "demonstração" de zeta(0)=-1/2 mas é muito heterodoxa, só confio nela porque deu certo também para zeta(-1).

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  8. caro tavano,entendi bem q. vc postou...e como eu disse,ainda nao vi nos trab. q. li a demostraçao e/ou de como chegar a z(0)=-1/2,como no caso acima so indicaçao...qto a z(-1)=-1/12(soma de ramanujann)chega-se facil pelos num.de bernouli...
    z(1-2n)=-B(2n)/2n,faz.n=1...z(-1)=-B(2)/2,como B(2)=1/6...ENTAO...z(-1)=-1/12...qto a dem.heterodoxo q. vc tem,se for piossivel me mande via email,terei grd prazer em le-la...adauto...email:ad.pi@bol.com.br

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  9. Olá Adauto, não sou um especialista em função zeta. Pode ser que por extensão analítica z(0) = -1/2 (zeta de Riemann). Também não sei provar este resultado, mas fiquei curioso com o problema. Talvez as ideias dos Tavano ajude a provar o resultado.

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  10. Oi, Prof. Paulo! Adauto! O que eu chamo "demonstração heterodoxa" é algo como este post desse Blog "DIA DO PI 2012-WALLIS E O FATORIAL DE 1/2" Repito que só confiei nessa "demonstração heterodoxa" porque deu certo para zeta(0), zeta(-1), zeta(-2) e zeta(-3) para outros valores vai se complicando. A demonstração é baseada no conceito de preenchimento P(n;p) que pode ser encontrado no Blog "Elementos de Teixeira" no post "Fórmula geral para somatórios de potências" Feito isso a "demonstração" sai em poucas linhas, espero não decepcioná-los.....abçs

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  11. caros prof.paulo e tavano,
    essa funçao realmente e algo belo e dificil de estuda-la e entende-la...os resultados advindo dela prova q. a matematica e infinita,como tbem os modelos para se chegar a resultados...eu vejo a matematica como arte,e alem das ciencias.e a linguagem mais aperfeiçoada q. a mente humana pode criar...e essa funçao e poesia de primeiras aguas,pisso tao dificil,mas bela...obrigado pelos esforços...estarei procurando as suas referencias q. postaram e postarao..obrigado amigos...adauto martins

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  12. Conheci hoje "Fatos Matemáticos" e estou fascinado. Para mim que adoro Física,Matemática e Eletrônica continuo acreditando que ainda tem gente muito boa nesse Planeta criando grandes obras. Disponibilizar conhecimento democraticamente é algo sublime além dos céus terrestres. Viva Fatos matemáticos!

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  13. Obrigado Silezio pelos elogios ao blog que este mês está completando 3 anos. Procuro disponibilizar vários assuntos de matemática de forma democrática.
    Divulgue este site para outros que gostam também de matemática e volte sempre!

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  14. Olá Paulo, a função zeta 2 converge para pi² / 6 e a função zeta 3 ainda é um dos problemas abertos na Matemática né.
    abraços.

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  15. Olá galera deste blog ...

    Seguinte: este é um dos brilhantes resultados matemáticos do século XX na área da "Teoria analítica dos números"; no entanto, ainda não se sabe se a Constante de Ápery é um número irracional do tipo "transcendente" [como Pi, o número euleriano e, a constante de Liouville L, ...] ou do tipo "algébrico" [assim como Fi - o número de ouro simbolizado como φ - , a raíz quadrada de 2, ...].

    Enfim, até a próxima e continuem com este grande blog matemático !!!

    Tchau

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  16. Tem muita coisa faltando explicar, primeiro está faltando explicar a história dessa função, segundo está faltando explicar como Euler encontrou a função, que problema ele estava querendo resolver, terceiro está faltando provar geometricamente o porquê dessa função estar correta, em quarto está faltando explicar como usar a função, e por ultimo está faltando mostrar as suas respectivas aplicações.

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