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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 12)


[;34);] Prove que toda reta paralela a uma das assíntotas de uma hipérbole encontra a curva em apenas um ponto.

[;35);] Se [;x \in \mathbb{Q};] e [;x^2 \in \mathbb{Z};], mostre que [;x \in \mathbb{Z};].

[;36);] Mostre que a equação da circunferência que passa pelos pontos [;A(\bar{\delta},0);], [;B(\delta,0);] e [;C(0,\bar{\delta});] intercepta o eixo [;y;] no ponto [;D(0,\delta);]. Sendo [;\delta = 1 + \sqrt{2};] (constante prateada) e [;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{2};].

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 11).


[;31);] Os números de Fibonacci são definidos pela relação de recorrência [;F_{n+2} = F_{n+1} + F_n;] para [;n \geq 1;]com [;F_1=F_2=1;]. Prove que:


[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = F_{2n+1};]

Resolução: Pela fórmula de Binet,

[;F_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{k+1} - \psi^{k+1});]
Assim,
[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{k+1} - \psi^{k+1});]


[;=\frac{\phi}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\phi^k - \frac{\psi}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\psi^k;]


[;=\frac{\phi}{\sqrt{5}}(\phi + 1)^n - \frac{\psi}{\sqrt{5}}(\psi + 1)^n;]

Mas, [;\phi^2 = \phi + 1;] e [;\psi^2 = \psi + 1;]. Logo,

[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = \frac{\phi}{\sqrt{5}}\phi^{2n} - \frac{\psi}{\sqrt{5}}\psi^{2n} = \frac{\phi^{2n+1}}{\sqrt{5}} - \frac{\psi^{2n+1}}{\sqrt{5}} = F_{2n+1};]

pela fórmula de Binet.

[;32);]
Prove que em qualquer triângulo [;ABC;], [;\sin A\cdot \sin B \cdot \sin C \leq 1/8;].

Resolução: Veja a Proposição 2 do post Uma Desigualdade Entre o Circunraio e o Inraio de um Triângulo.

[;33);] Seja [;x \succ 0;]. Prove que

[;\frac{x^2}{2} \prec e^x;]

Sugestão: Analise a função [;f(x) = e^x - x^2/2;].
Resolução: Apresentaremos a solução de um problema mais geral, de modo que este é um caso particular.

Problema:

[;e^x \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}, \qquad x \in [0,+\infty);]


Solução: Para [;n = 1;], seja [;f(x) = e^x;] e considere o intervalo [;[0,x];]. Note que [;f;] é contínua em [;[0,x];] e derivável no aberto [;(0,x);]. Assim, pelo teorema do valor médio, existe [;\xi \in (0,x);] tal que


[;f(x) - f(0) = f^{\prime}(\xi)(x - 0) \quad \Rightarrow \quad e^x - 1 = e^{\xi}x \geq x \quad \Rightarrow \quad e^x \geq 1 + x;]

Suponhamos que

[;e^x \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!};]

e provaremos que

[;e^x \geq \sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!};]

De fato, seja

[;g(x) = e^x - \sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!};]


no intervalo [;[0,x];]. Note que [;g;] é contínua nesse intervalo e derivável em [;(0,x);]. Assim, pelo TVM, existe [;\xi \in (0,x);] tal que [;g(x) - g(0) = g^{\prime}(\xi)(x - 0);], donde segue que


[;g(x) - 0 = \biggl[e^{\xi} - \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi^{k-1}}{(k-1)!}\biggr]x = xe^{\xi} - \sum_{k=0}^{n}\frac{\xi^k}{k!}x;]


[;\geq x\sum_{k=0}^{n}\frac{\xi^k}{k!} - x\sum_{k=0}^{n}\frac{\xi^k}{k!} = 0;]

donde segue o resultado. Para [;n = 2;], temos:


[;e^x \geq \frac{x^2}{2} + x + 1 \succ \frac{x^2}{2};]


Observação 1: No post, Aplicações do Teorema de Rolle, apresentamos um problema semelhante a este.

Observação 2: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.


O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;34);], [;35);] e [;36);] encerra no dia 30/04/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7);

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