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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 13)


[;37);] Calcule a derivada de [;4^{\underline{a}};] ordem de [;f(x) = x^3/(1 - x);].

[;38);] Determine a área delimitada pela secção meridiana do ovo construído com régua e compasso à partir de um círculo de raio [;r;] conforme a figura abaixo. 


Este problema foi inspirado no post Como Desenhar um Ovo de Galinha com Régua e Compasso (Parte 2) do blog O Baricentro da Mente e foi gentilmente cedido pelo seu autor Kleber Kilhian.

[;39);] (Provão 2003) Na figura abaixo [;z;] e [;w;] são números complexos. Ache o valor de [;w;] em função de [;z;].
Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 12).
[;34);] Prove que toda reta paralela a uma das assíntotas de uma hipérbole encontra a curva em apenas um ponto.
Resolução: Seja [;y = bx/a + p;] a reta paralela à assíntota [;y = bx/a;] da hipérbole

[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1;]
Assim, 
[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{1}{b^2}\biggl(\frac{bx}{a} + p\biggr)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{2bx}{ab} - \frac{p^2}{ab} - 1 =0;] 

que é uma equação do [;1^{\underline{0}};] grau em [;x\;], e consequentemente a reta [;y = bx/a + p;] encontra a hipérbole em apenas um ponto.

[;35);] Se [;x \in \mathbb{Q};] e [;x^2 \in \mathbb{Z};], mostre que [;x \in \mathbb{Z};].



Resolução: Seja [;x = a/b;]. Assim, 

[;x^2 = a^2/b^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = b^2x^2;]

Por hipótese, [;x^2 \in \mathbb{Z};], de modo que 

[;b^2 \ | \ a^2 \quad \Rightarrow \quad b \ | \ a;]

Assim, existe [;k \in \mathbb{Z};] tal que [;a = bk;]. Logo, [;x = bk/b = k \in \mathbb{Z};].

[;36);] Mostre que a equação da circunferência que passa pelos pontos [;A(\bar{\delta},0);], [;B(\delta,0);] e [;C(0,\bar{\delta});] intercepta o eixo [;y;] no ponto [;D(0,\delta);]. Sendo [;\delta = 1 + \sqrt{2};] (constante prateada) e [;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{2};].

Resolução: A equação analítica de uma circunferência é dada por: 

[;\lambda: \quad x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0;] 
Como [;A(\bar{\delta},0) \in \lambda;] e [;B(\delta,0) \in \lambda;], temos:


[;\bar{\delta}^2 + 2a\bar{\delta} + c = 0;] 

[;\delta^2 + 2a\delta + c = 0;]

Adicionando estas expressões e usando o fato que [;\delta + \bar{\delta} = 2;] e [;\bar{\delta}^2 + \delta^2 = 6;], segue que [;2a = -3 - c;]. Substituindo na segunda expressão acima, temos


[;\delta^2 + 2a\delta + c = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + 2\delta - 3\delta -\delta c + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -1;]

de modo que [;a = -1;]. Sendo [;C(0,\bar{\delta});] um ponto de [;\lambda;], então


[;\bar{\delta}^2 + 2b\bar{\delta} + c = 0;]

Substituindo o valor de [;c;] nesta expressão, segue que


[;1 + 2\bar{\delta} + 2b\bar{\delta} - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\bar{\delta}(1 + b) = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1;]


Substituindo os valores de [;a;], [;b;] e [;c;] na equação da circunferência acima, obtemos 
[;x^2 + y^2 - 2x - 2y - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad \lambda: \ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3;]

É fácil ver que o ponto [;D(0,\delta);] pertence a [;\lambda;].

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;37);], [;38);] e [;39);] encerra no dia 31/05/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Leitores que enviaram soluções:

- David Carvalho - Problema [;35);].
- Diogo Cardoso - Problemas [;34);] e [;36);].

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9);

- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 10);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 11).

2 comentários:

  1. Paulo, quando você diz para calcular a área delimitada pelo ovo... você está querendo dizer a área da casca do ovo certo? Não somente da área plana gerada pela seccção de um plano que passa pelo eixo de simetria...

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    1. Realmente o enunciado permite também esta interpretação. Mas o que eu quiz dizer é a área da secção meridiana. Para não haver mais dúvidas, corrigi o enunciado acima. Este outro problema que você sugere também é interessante. Pensarei nele com calma. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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