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A Desigualdade de Gronwall

Usualmente, em muitas aplicações os dados experimentais são conhecidos aproximadamente. Se o problema é bem posto, espera que pequenas mudanças nos dados iniciais irão causar pequenas mudanças nas soluções. Tais problemas são modelados por equações diferenciais e sob certas condições as soluções de um PVI obedecem as condições de um problema bem posto. Para obter este resultado, veremos inicialmente uma versão simples da desigualdade de Gronwall.
Proposição 1: Suponha que [;\Psi(t) \geq 0;] satisfaz a desigualdade
[;\Psi(t) \leq \alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds;]
com [;\alpha, \beta(s) \geq 0;]. Então
[;\Psi(t) \leq \alpha \exp\biggl(\int_{0}^{t}\beta(s)ds\biggr);]
Demonstração: Suponhamos inicialmente que [;\alpha \succ 0;]. Note que
[;\frac{d}{dt}\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr) = \frac{\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \quad \Rightarrow;]
[;\frac{d}{dt}\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr) = \frac{\beta(t)\Psi(t)}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \leq \beta(t) \qquad (1);]
pois, por hipótese

[;\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds \geq \Psi(t) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \leq \frac{1}{\Psi(t)};]
ou seja,
[;\frac{\Psi(t)}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \leq 1;]
Integrando a desigualdade [;(1);] em relação a [;t;], temos:
[;\int_{0}^{t}d\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{u}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr)du \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]
[;\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{u}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr)_{0}^{t} \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]
[;\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr) - \ln \alpha \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]

[;\ln\biggl(\frac{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds}{\alpha}\biggr) \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]
[;\Psi(t) \leq \alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds \leq \alpha \exp\biggl(\int_{0}^{t}\beta(s)ds\biggr);]

Mostramos que para todo [;\alpha \succ 0;], temos

[;\Psi(t) \leq \alpha\exp\biggl(\int_{0}^{t}\beta(s)ds\biggr);] 
Fazendo [;\alpha \to 0;], segue que [;0 \leq \Psi(t) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \Psi(t) \equiv 0;], ou seja, o resultado é válido para todo [;\alpha \geq 0;].

Teorema 1: Suponha que [;f,g \ : \ U \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R};] sejam funções contínuas e que [;f;] seja Lipschitz na segunda variável com constante [;L;]. Se [;x(t);] e [;y(t);] são soluções dos PVI's.

[;\begin{cases}\dot{x} = f(t,x)\\x(t_0) = x_0\end{cases}\qquad \text{e} \qquad \begin{cases}\dot{y} = g(t,y)\\y(t_0) = y_0\end{cases};]
Então
[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0|e^{L|t - t_0|} + \frac{M}{L}(e^{|t - t_0|} - 1);]

onde

[;M = \sup_{(t,x) \in U}|f(t,x) - g(t,x)|;].

Demonstração: Sem perda de generalidade, suponhamos que [;t_0 = 0;]. Assim, do PVI

[;\begin{cases}\dot{x} = f(t,x)\\x(0) = x_0\end{cases};]
segue que
[;\int_{x_0}^{x}dx = \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds \quad \Rightarrow \quad x(t) = x_0 + \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds;]
Analogamente,
[;y(t) = y_0 + \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds;]
Assim,
[;|x(t) - y(t)| = \begin{vmatrix}x_0 - y_0 + \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds - \int_{0}^{t}g(s,y(s))ds\end{vmatrix};]
[;\leq |x_0 - y_0| + \int_{0}^{t}|f(s,x(s)) - g(s,y(s))|ds;]
Usando o fato que [;f;] é Lipschitz, temos:
[;|f(s,x(s)) - g(s,y(s))| \leq |f(s,x(s)) - f(s,y(s))| + |f(s,y(s)) - g(s,y(s))|;]
[;\leq L|x(s) - y(s)| + M;]
Assim,
[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0| + \int_{0}^{t}[L|x(s) - y(s)| + M]ds;]
Seja
[;\Psi(t) = |x(t) - y(t)| + \frac{M}{L};]
de modo que
[;\Psi(t) - \frac{M}{L} \leq \Psi(0) - \frac{M}{L} + \int_{0}^{t}[L\Psi(s) - M + M]ds \quad \Rightarrow;]

[;\Psi(t) \leq \Psi(0) + \int_{0}^{t}L\Psi(s)ds;]
Pela desigualdade de Gronwall,
[;\Psi(t) \leq \Psi(0)\cdot \exp\biggl(\int_{0}^{t}Lds\biggr) \quad \Rightarrow \quad \Psi(t) \leq \Psi(0)e^{Lt} \quad \Rightarrow;]
[;|x(t) - y(t)| + \frac{M}{L} \leq \biggl(|x_0 - y_0| + \frac{M}{L}\biggr)e^{Lt} \quad \Rightarrow;]
[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0|e^{Lt} + \frac{M}{L}e^{Lt} - \frac{M}{L} \quad \Rightarrow;]
[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0|e^{Lt} + \frac{M}{L}(e^{Lt} - 1);]

Referências Bibliográfica:
- Feschl, Gerald. Ordinary differential equations and dynamical systems. University Wien, Austria. 2006.


Gostará de ler também:
- Equações Diferenciais Exatas;
- Método do Fator Integrante Para EDO's Lineares de Primeira Ordem;
- Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 2).

2 comentários:

  1. Professor, muito interessante essa igualdade.
    Quanto ao teorema 1, não consigo entender uma coisa, pode acontecer o caso em que M é infinito? E o fato de f ser Lipschitz garante que ela não possa tender ao infinito para algum ponto ( nunca estudei análise )?
    Obrigado pelo post.

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  2. O valor de M deve ser finito. O fato de f ser Lipschitz é para obtermos a desigualdade linear acima. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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