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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 14)

[;40);] Avalie o somatório
[;\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos^2(n\pi/2)}{3^n};]

Sugestão: Use a transformada discreta de Laplace.

[;41);] (ITA - 2000) Considere o triângulo [;ABC;] isósceles, retângulo em [;A;]. Seja [;D;] a interseção da bissetriz do ângulo [;\hat{A};] com o lado [;BC;] e [;E;] um ponto da reta suporte do cateto [;AC;] de tal modo que os segmentos de reta [;BE;] e [;AD;] sejam paralelos. Sabendo que [;AD;] mede [;\sqrt{2}\ cm;], calcule a área do círculo inscrito no triângulo [;EBC;].
 [;42);] Prove que não existe nenhuma P.G. que admita [;1;], [;2;] e [;5;] como termos.

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 13).

[;37);] Calcule a derivada de [;4^{\underline{a}};] ordem de [;f(x) = x^3/(1 - x);].

Resolução: Note que 
[;f(x) = \frac{x^3}{1 - x} = \frac{x^3 - 1}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} = -\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} + \frac{1}{1 - x};] 
[;=-x^2 - x - 1 + \frac{1}{1 - x};]
Assim,
 [;f^{\prime}(x) = - 2x - 1 - \frac{1}{(1 - x)^2}\cdot (-1) = -2x - 1 + \frac{1}{(1 - x)^2} \quad \Rightarrow;]
[;f^{\prime \prime}(x) = -2 - \frac{2}{(1 - x)^3}\cdot (-1) = -2 + \frac{2}{(1 - x)^3};]
Derivando novamente, temos

[;f^{\prime \prime \prime}(x) = \frac{6}{(1 - x)^4} \quad \Rightarrow \quad f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1 - x)^5};]
[;38);] Determine a área delimitada pela secção meridiana do ovo construído com régua e compasso à partir de um círculo de raio [;r;] conforme a figura abaixo.


Resolução: Da figura, vemos que [;S = 2(S_1 + S_2 + S_3 + S_4);], sendo que [;S_3 = r^2/2;] e [;S_4 = \pi r^2/2;]. Observe que [;S_2;] é a diferença entre as áreas de um setor de raio [;2r;] e ângulo central [;\pi/4;] radianos e a área de um triângulo base [;2r;]e altura [;r;]. Assim,
[;S_2 = \frac{\pi}{4}\frac{(2r)^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r = (\frac{\pi}{2} - 1)r^2;]

[;S_1;] é a área de um quarto de círculo de raio [;BC^{\prime} = AC^{\prime} - AB = 2r - \sqrt{2}r;]. Assim, 
[;S_1 = \frac{1}{4}\pi (2 - \sqrt{2})r^2 = \frac{\pi}{4}(4 - 4\sqrt{2} + 2)r^2 = \frac{\pi}{2}(3 - 2\sqrt{2})r^2;]
Logo,


[;S = 2(S_1 + S_2 + S_3 +S_4) = [\pi(3 - 2\sqrt{2}) + (\pi - 2) + 1 + \pi]r^2;]
[; = [5\pi - 2\sqrt{2}\pi - 1]r^2;]
 [;39);] (Provão 2003) Na figura abaixo [;z;] e [;w;] são números complexos. Ache o valor de [;w;] em função de [;z;].

Resolução:  Seja [;\theta;] o argumento do número complexo [;z;]. Na figura abaixo, o triângulo [;OAC;] é isósceles e sendo as retas que passam pela origem e por [;z;] e a que passa por [;w;] e pelo ponto [;(1,0);] perpendiculares, então [;OB;] é a mediatriz de [;AC;] de modo que o argumento de [;w;] é [;2\theta;]. Sendo [;z;] e [;w;] números complexos unitários segue que
[;w = e^{2\theta i} = (e^{\theta i})^2 = z^2;] 

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;40);], [;41);] e [;42);] encerra no dia 30/06/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

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