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A Espiral de Arquimedes

O tratado Sobre as Espirais de Arquimedes com [;28;] proposições é uma obra singular. Após expor uma série de lemas , Arquimedes define a espiral de modo cinemático: uma reta de extremidade fixa, roda uniformemente sobre um plano. Sobre esta reta, move-se de modo uniforme, um ponto. A curva descrita por este ponto será a espiral.

Em coordenadas polares a relação entre o raio vetor [;r;] e o ângulo [;\theta;] formado pelo raio vetor e o eixo polar é dada por [;r = a\theta;] sendo [;a;] uma constante de proporcionalidade positiva.


Para ver isto, pela definição da espiral de Arquimedes, temos:
[;\frac{dr}{dt} = k_1;]
 e que
 [;\frac{d\theta}{dt} = k_2;]
Assim, pela regra da cadeia,
[;\frac{dr}{d\theta} = \frac{dr}{dt}\cdot \frac{dt}{d\theta} = \frac{k_1}{k_2} = a \quad \Rightarrow \quad r = a\theta;]

Os resultados mais interessantes relativos a essa curva são dois. O primeiro diz respeito à tangente a espiral no ponto [;(0, 2\pi a);].

Proposição 1: Seja [;(0, 2\pi a);] a reta tangente à espiral [;r = a\theta;], sendo [;\theta \geq 0;] no ponto [;P(2\pi a,0);]. Se [;T;] é o ponto de interseção de [;r;] com o eixo [;y;], então [;OT;] é igual ao perímetro do primeiro círculo,
isto é, o círculo centrado na extremidade fixa e raio igual ao raio vetor após uma revolução completa.


Demonstração: Na forma paramétrica a espiral de Arquimedes [;r = a\theta;] é dada por [;f(t)  = (at\cos t,at\sin t);]. O coeficiente angular da reta tangente no ponto [;P(2\pi a,0);] é dado por:
[;m\mid_{t = 2\pi} = \frac{dy}{dx}\mid_{t = 2\pi} = \frac{dy}{dt}\cdot  \frac{dt}{dx}\mid_{t = 2\pi} = \frac{\sin t + t\cos t}{\cos t - t\sin t}\mid_{t = 2\pi} = 2\pi;]

Assim, a equação da reta tangente [;r;] é

[;r: \ y - 0 = 2\pi(x - 2\pi a) \quad \Rightarrow \quad r:\ y = 2\pi x - 4\pi a^2;] 

Para [;x = 0;], segue que
[;y_T = -4\pi^2 a = -2\pi\cdot 2\pi a \quad \Rightarrow \quad OT = 2\pi\cdot OA;]
Proposição 2: A área compreendida entre a primeira revolução da espiral e a reta que gira é igual a [;1/3;] da área do primeiro círculo, isto é, o círculo centrado na extremidade fixa e raio igual ao raio vetor após uma revolução completa, isto é,
[;S = \frac{1}{3}\pi\cdot (2\pi a)^2;]



Demonstração: De fato, usando a fórmula de integração para o cálculo de áreas em coordenadas polares, temos:

 [;S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}r(\theta)^2d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^2\theta^2d\theta;]
 [;=\frac{a^2}{6}\int_{0}^{2\pi}\theta^2d\theta = \frac{\pi}{3}\cdot (2\pi a)^2;]
Sendo [;r(2\pi) = 2\pi a;], segue o resultado.

Proposição 3: Considere a tangente em um ponto [;P_1;] da espiral [;r = a\theta;], sendo [;\theta \geq 0;] e suponha que a reta [;OT;], que é perpendicular a [;OP;]na origem [;O;], encontra essa tangente em [;T;]. Então [;OT;] é igual ao comprimento do arco [;A\widehat{S}P_1;] com centro [;O;] traçado do eixo polar ao ponto [;P_1(r_1,\theta_1);]. 

Demonstração: Note que 
[;A\widehat{S}P_1 = r_1\theta_1 \qquad (1);]
Do post, Retas Tangentes em Coordenadas Polares, vimos que [;\tan \psi = \frac{r(\theta)}{r^{\prime}(\theta)};] . Sendo [;r(\theta) = a\theta;], temos 
[;\frac{OT}{OP_1} = \tan \psi = \frac{r(\theta_1)}{r^{\prime}(\theta_1)} = \frac{a\theta_1}{a} = \theta_1 \quad \Rightarrow;]
[;OT = r_1\theta_1 \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], segue que [;OT = A\widehat{S}P_1;].

Pode-se conseguir uma solução elegante do problema da quadratura com a espiral de Arquimedes que, efetivamente, foi utilizada por Arquimedes com essa finalidade. Para isso, tracemos o círculo de centro [;O;] e raio igual a [;a;]. Então [;OP;] e o arco do círculo entre as semirretas [;OA;] e [;OP;] são iguais. Como a área [;S;] do círculo é a metade do produto de seu raio pela sua circunferência ([;S = Ca/2;]), temos 
[;S = \biggl(\frac{a}{2}\biggr)\cdot 4OP = (2a)\cdot (OP);]
Assim, o lado do quadrado pretendido é a média proporcional entre [;2a;] e [;OP;], ou entre o diâmetro do círculo e o comprimento do raio vetor da espiral que é perpendicular a [;OA;]. 

Através da espira de Arquimedes, podemos também trisseccionar ou mais geralmente, multiseccionar um ângulo [;A\hat{O}B;]. Veremos esta propriedade em um post futuro.

Sobre as espirais foi uma obra que exerceu grande fascínio em homens como François Viéte [;(1540-1603);], inventor da álgebra simbólica e de sua aplicação à geometria. Além disso, Arquimedes em sua obra mescla argumentos cinemáticos e geométricos que impressionava Galileu.

Referências Bibliográficas:
- Eves, Howard. História da Matemática. Editora da Unicamp. Campinas-SP, 2002.
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. Editora Mc Graw-Hill, São Paulo, 1987.

Gostará de ler também:
- Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes (Blog O Baricentro da Mente);
- O Sistema de Coordenadas Polares;

- O Problema do Bode Faminto;
- A Área do Segmento e da Calota Esférica;
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa).

7 comentários:

  1. Oi, Prof.

    Arquimedes tinha uma mente muito fértil e esta sua espiral é cheia de curiosidades ocultas.

    No livro [;e;] a História de um Número, de Eli Maior, diz que Newton, no Livro [;I;] de seus Principia, provou que, se a lei da gravitação universal fosse uma lei do inverso do cubo, então uma órbita possível para os planetas seria uma espiral logaritma.

    Parabéns por essa bela postagem.

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  2. Obrigado Aloisio, gosto muito de Arquimedes e de gravitação também. Já li algo sobre o formato das órbitas dos planetas e a outras leis radiais. Seções cônicas é apenas pela lei do inverso do quadrado. Newton e Arquimedes estavam de fato, muito além dos homens de suas épocas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Olá Paulo, muito legal esta postagem. Arquimedes construiu os rudimentos do cálculo, não? Incrível como conseguiu demonstrar tantos teoremas numa época tão inóspita.
    Um abraço.

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    1. Realmente é admirável saber que Arquimedes deduziu as proposições acima usando os rudimentos do cálculo. Já adicionei o seu link que realmente irá enriquecer o post. Obrigado pelo comentário e pela leitura atenta.

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  4. Bom dia professor,sou André Cantanhede do curso de física da UFPA e após ler seu artido sobre espiral de Arquimedes,lembrei da 8°questão da prova de matemática do processo seletivo 2012 da UFPA.Se possível gostaria que o sr desse uma olhada e claro postar no blog. Agradeço sua atenção e parabéns pelo excelente trabalho.SAUDAÇÕES DE BELÉM DO PARÁ.

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    1. Olá André. Procurei a prova e não achei. Sendo assim, deixe o link aqui para eu ver a questão.

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  5. Professor, eu queria muito entender esse conteúdo, mas não to conseguindo visualizar as imagens, só aparece como fórmula e não consigo decifrá-las. Há alguma maneira que eu possa visualizar o conteúdo na íntegra? E não é só eu, vários colegas meus da faculdade tb não conseguem visualizar ao total. Obg

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