FATOS MATEMÁTICOS: A Desigualdade de Nesbitt

sexta-feira, 13 de julho de 2012

A Desigualdade de Nesbitt

Neste post, apresentaremos uma desigualdade aritmética pouco conhecida, apresentada pelo matemático A. M. Nesbitt em $[;1903;]$ .

Proposição 1: (Nesbitt - $[;1^{\underline{a}};]$ versão) Se $[;x\;]$ , $[;y;]$ e $[;z;]$ são reais positivos, então

$[;\frac{x}{y + z} + \frac{y}{x + z} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2};]$

Demonstração: Dados $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ positivos, pela desigualdade entre as médias aritmética, geométrica e harmônica, temos:

$[;\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}};]$

Para $[;a= x+y;]$ , $[;b = y + z;]$ e $[;c = x+z;]$ , temos

$[;\frac{x+y}{3} + \frac{y+z}{3} + \frac{z + x}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x+y} +\frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + c}} \quad \Rightarrow;]$

$[;[(x + y) + (y+z) + (x + c)]\biggl(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x + z}\biggr) \geq 9 \quad \Rightarrow;]$

$[;1 + \frac{x+y}{y+z} + \frac{x+y}{x+c} + \frac{y+z}{x+y} + 1 + \frac{y+z}{x + z} + \frac{x + z}{x + y} + \frac{x + z}{y +z} + 1 \geq 9;]$

$[;\frac{2x + y+z}{y + z} + \frac{x + 2y+z}{x+z} +\frac{x+y+2z}{x+y} \geq 6 \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}\geq 3;]$

donde segue o resultado.

Para obter uma generalização da desigualdade de Nesbitt, precisaremos do seguinte lema:

Lema 1: Se $[;x\;]$ , $[;y;]$ e $[;z;]$ são reais positivos, então

$[;x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz;]$

Demonstração: Sendo $[;(x - y)^2 \geq 0;]$ , $[;(x - z)^2 \geq 0;]$ e $[;(y - z)^2\geq 0;]$ , temos:

$[;\begin{cases}x^2 + y^2 \geq 2xy\\x^2 + z^2 \geq 2xz\\y^2 + z^2 \geq 2yz\\ \end{cases};]$

Somando estas desigualdades, obtemos

$[;2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 2(xy + xz + yz);]$

donde segue o resultado.

Proposição 2: (Nesbitt - $[;2^{\underline{a}};]$ versão) Se $[;x\;]$ , $[;y;]$ , $[;z;]$ e $[;k;]$ são reais positivos, então

$[;\frac{x}{ky + z} + \frac{y}{kz + x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{3}{1 + k};]$

Demonstração: Dados os vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ , a desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que $[;\vec{u}\cdot \vec{v} \leq |\vec{u}|\ |\vec{v}|;]$ , de modo que

$[;|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 \geq (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 \qquad (1);]$

Sejam

$[;\vec{u} = (\sqrt{kxy + xz},\sqrt{kyz + xy}, \sqrt{kxz + yz});]$

$[;\vec{v} = \biggl(\frac{x}{\sqrt{kxy + xz}}, \frac{y}{\sqrt{kyz + xy}},\frac{z}{\sqrt{kxz + yz}}\biggr);]$

Assim, da desigualdade $[;(1);]$ ,

$[;(kxy + xz) + (kyz + xy) + (kxz + yz)]\biggl(\frac{x^2}{kxy + xz} + \frac{y^2}{kyz + xy} +;]$

$[;\frac{z^2}{kxz + yz}\biggr) \geq (x + y + z)^2 \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{x}{ky+z} + \frac{y}{kz + x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(kxy + xy) + (kyz + yz) + (kxz + xz)};]$

$[;\geq \frac{(x+y+z)^2}{(k+1)(xy + xz + yz)} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{x}{ky + z} + \frac{y}{kz + x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz}{(1+k)(xy + yz + xz)};]$

Pelo Lema 1, segue que

$[;\frac{x}{ky +z} + \frac{y}{kz +x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{3}{1 + k};]$

Gostará de ler também:

- Duas Médias (Parte 1);

- Duas Médias (Parte 2);

- Fatos da Média Harmônica;

- A Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

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A Desigualdade de Nesbitt

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