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A Desigualdade de Nesbitt

Neste post, apresentaremos uma desigualdade aritmética pouco conhecida, apresentada pelo matemático A. M. Nesbitt em [;1903;].

Proposição 1: (Nesbitt - [;1^{\underline{a}};] versão) Se [;x\;], [;y;] e [;z;] são reais positivos, então
[;\frac{x}{y + z} + \frac{y}{x + z} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2};] 
Demonstração: Dados [;a;], [;b;] e [;c;] positivos, pela desigualdade entre as médias aritmética, geométrica e harmônica, temos:

[;\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}};] 
Para [;a= x+y;], [;b = y + z;] e [;c = x+z;], temos
[;\frac{x+y}{3} + \frac{y+z}{3} + \frac{z + x}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x+y} +\frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + c}} \quad \Rightarrow;]
 [;[(x + y) + (y+z) + (x + c)]\biggl(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x + z}\biggr) \geq 9 \quad \Rightarrow;]
 [;1 + \frac{x+y}{y+z} + \frac{x+y}{x+c} + \frac{y+z}{x+y} + 1 + \frac{y+z}{x + z} + \frac{x + z}{x + y} + \frac{x + z}{y +z} + 1 \geq 9;] 
[;\frac{2x + y+z}{y + z} + \frac{x + 2y+z}{x+z} +\frac{x+y+2z}{x+y} \geq 6 \quad \Rightarrow;] 
[;\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}\geq 3;] 
donde segue o resultado. 
Para obter uma generalização da desigualdade de Nesbitt, precisaremos do seguinte lema:

Lema 1: Se [;x\;], [;y;]e [;z;] são reais positivos, então
[;x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz;]
Demonstração: Sendo [;(x - y)^2 \geq 0;], [;(x - z)^2 \geq 0;] e [;(y - z)^2\geq 0;], temos:

[;\begin{cases}x^2 + y^2 \geq 2xy\\x^2 + z^2 \geq 2xz\\y^2 + z^2 \geq 2yz\\ \end{cases};]
 
Somando estas desigualdades, obtemos
[;2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 2(xy + xz + yz);]
donde segue o resultado. 

Proposição 2: (Nesbitt - [;2^{\underline{a}};] versão) Se [;x\;], [;y;], [;z;] e [;k;] são reais positivos, então
[;\frac{x}{ky + z} + \frac{y}{kz + x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{3}{1 + k};]
Demonstração: Dados os vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};], a desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que [;\vec{u}\cdot \vec{v} \leq |\vec{u}|\ |\vec{v}|;], de modo que 
[;|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 \geq (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 \qquad (1);]
Sejam 
[;\vec{u} = (\sqrt{kxy + xz},\sqrt{kyz + xy}, \sqrt{kxz + yz});]
e
[;\vec{v} = \biggl(\frac{x}{\sqrt{kxy + xz}}, \frac{y}{\sqrt{kyz + xy}},\frac{z}{\sqrt{kxz + yz}}\biggr);]
Assim, da desigualdade [;(1);],
[;(kxy + xz) + (kyz + xy) + (kxz + yz)]\biggl(\frac{x^2}{kxy + xz} + \frac{y^2}{kyz + xy} +;]
[;\frac{z^2}{kxz + yz}\biggr) \geq (x + y + z)^2 \quad \Rightarrow;]
[;\frac{x}{ky+z} + \frac{y}{kz + x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(kxy + xy) + (kyz + yz) + (kxz + xz)};]
 [;\geq \frac{(x+y+z)^2}{(k+1)(xy + xz + yz)} \quad \Rightarrow;]
 [;\frac{x}{ky + z} + \frac{y}{kz + x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz}{(1+k)(xy + yz + xz)};]
Pelo Lema 1, segue que
[;\frac{x}{ky +z} + \frac{y}{kz +x} + \frac{z}{kx + y} \geq \frac{3}{1 + k};]
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