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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 15)


[;43);] Ache a solução do problema de valor inicial
[;\begin{cases}u_{n+1}^2 = u_n, \qquad n \geq 1\\u_0 = 3\end{cases};]
[;44);] Sejam [;x_1;],[;x_2;] e [;x_3;] raízes da equação [;x^3 - x^2 + 1 = 0;]. Calcule 
[;\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} + \frac{1}{x_{3}^{2}};]
[;45);] Dado o polígono estrelado de cinco pontas abaixo, mostre que
[;\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} + \hat{E} = 180^{\circ};] 
 Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 14).

[;40);] Avalie o somatório
[;\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos^2(n\pi/2)}{3^n};]
Sugestão: Use a transformada discreta de Laplace. 

Resolução: Se [;\ell_d\{x_n\} = X(s);] e [;r \succ 0;], então pela definição de transformada discreta de Laplace, 
[;\ell_d\{r^{-an}x_n\} = \ell_d\{x_n\}_{e^s \to r^ae^s};]
de modo que 
[;\sum_{n = 0}^{\infty}r^{-an}x_n = \sum_{n=0}^{\infty}(r^a)^{-n}x_n = \ell_d\{x_n\}_{e^s \to r^a};]
 Assim,
 [;\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos^2(n\pi/2)}{3^n} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{3^{-n}}{2}[1 + \cos(n\pi)];]
 [;= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{3^{-n}}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{3^{-n}(-1)^n}{2};]
 [;=\frac{1}{2}\ell_d\{1\}_{e^s \to 3} + \frac{1}{2}\biggl[\frac{e^s}{e^s + 1}\biggr]_{e^s \to 3} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8};]
[;41);] (ITA - 2000) Considere o triângulo [;ABC;] isósceles, retângulo em [;A;]. Seja [;D;] a interseção da bissetriz do ângulo [;\hat{A};] com o lado [;BC;] e [;E;] um ponto da reta suporte do cateto [;AC;] de tal modo que os segmentos de reta [;BE;] e [;AD;] sejam paralelos. Sabendo que [;AD;] mede [;\sqrt{2}\ cm;], calcule a área do círculo inscrito no triângulo [;EBC;].
Resolução: Considere a figura abaixo:


Note que 
[;\sin 45^{\circ} = \frac{AD}{AC} = \frac{AD}{1/\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad AC = 2\ cm;]
de modo que [;CE = CA + AE = 2CA = 4\ cm;]. Sendo [;CD = AD = \sqrt{2}\ cm;], temos [;BE = BC = 2CD = 2\sqrt{2} \ cm;]. Assim, o perímetro do triângulo [;ABE;] é dado por

[;2p = BC + BE + CE = 2BC + CE = 4\sqrt{2} + 4 = 4(1 + \sqrt{2});]

Seja [;S;]a área do [;\Delta ABE;] e [;r;] o raio do círculo inscrito neste triângulo. Sendo [;S = pr;], segue que 
[;r = \frac{S}{p} = \frac{CE\cdot AB}{2p} = \frac{4\cdot 2}{2(1 + \sqrt{2})} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \ cm;]

Logo, a área do círculo inscrito [;S_c;] é
[;S_c = \pi r^2 = \frac{4\pi}{(1 + \sqrt{2})^2} = 4(3 - 2\sqrt{2})\pi \ cm^2;]
[;42);] Prove que não existe nenhuma P.G. que admita [;1;], [;2;] e [;5;] como termos.

Resolução: Suponhamos por absurdo que existem [;n_1;], [;n_2;] e [;n_3;] naturais tais que [;a_{n_1} = 1;], [;a_{n_2} = 2;] e [;a_{n_3} = 5;]. Sendo [;a_n = a_1q^{n-1};], temos
[;a_{n_1} = a_1q^{n_1-1};]
[;a_{n_2} = a_1q^{n_2 - 1};]
e
[;a_{n_3} = a_1q^{n_3 - 1};]
donde segue que
[;2^{1/(n_2 - n_1)} = 5^{1/(n_3 - n_1)} \quad \Rightarrow \quad 2^{n_3 - n_1} = 5^{n_2 - n_1};]

o que é uma contradição.

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;43);], [;44);] e [;45);] encerra no dia 31/07/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

2 comentários:

  1. Resolvi o 45 a la Roger Nelsen. Colocando só um pouquinho de palavras, eu usei rotações rígidas no plano.

    Gostaria de seu comentário sobre a validade dela:
    http://i47.tinypic.com/2qvw1z7.png

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  2. Vi apenas uma figura sem justificativas. Um caminho mais fácil é dividir em triângulos e usar o teorema do ângulo externo.

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