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O Problema do Pulo do Grilo

Muitos problemas físicos podem ser modelados usando ferramentas adequadas da Matemática. Sendo assim, a Cinemática é uma área da Física que pode muito bem ser explorada através da Geometria Analítica, do Cálculo e das Equações Diferenciais. O problema seguinte é um exemplo deste fato.
Considere um tronco cilíndrico de seção circular de raio [;R;] e cujo centro é [;(0,R);]. Um grilo diante deste tronco deseja pulá-lo com menor velocidade inicial [;v_0;] possível. Desprezando o atrito do ar calcule esta velocidade.
Resolução: Conforme a figura abaixo, o problema consiste em achar o menor módulo do vetor velocidade [;\vec{V_1};] de forma que o grilo salte o tronco com seção transversal de raio [;R;].
Nos pontos [;B;] e [;B^{\prime};], a velocidade do grilo é 
[;\vec{V_2} = \vec{V_3} = v_2;]
e o ângulo que o vetor [;\vec{V_2};] faz com a horizontal é [;\beta;]. Por outro lado, o módulo da componente vertical de [;\vec{V_2};] é [;v_0 = v_y = v_2\sin \beta;]. Assim, com o eixo vertical orientado para cima, a função horária do movimento vertical com esta componente é [;v = v_2\sin \beta - gt;]. No ponto [;C;], temos [;t = t_2;] e [;v = 0;], de modo que
[;v_2\sin \beta = gt_2 \qquad (1);]
 onde [;t_2;] é o tempo de vôo do grilo de [;B;] até [;C;]. Ainda no ponto [;B;], o módulo da componente horizontal do vetor [;\vec{V_2};] é [;v_x = v_2\cos \beta;]. Logo, o deslocamento horizontal do grilo de [;F;] à [;O;] é dado por
[;v_2\cos (\beta)t_2 \quad \Rightarrow \quad v_2t_2\cos \beta = FO = R\cos(90^{\circ} - \beta) = R\sin \beta \quad \Rightarrow;]

[;v_2t_2\cos \beta = R\sin \beta \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], obtemos o sistema de equações:
[;\begin{cases}v_2\sin \beta = gt_2\\v_2t_2\cos \beta = R\sin \beta\end{cases};] 
É este sistema que relaciona a parábola aos pontos [;B;] e [;B^{\prime};] de tangência ao círculo e impõe a condição de que a velocidade se anula em [;C;]. Multiplicando membro à membro e cancelando o fator [;t_2\sin \beta;], temos:
[;t_2\sin \beta v_{2}^{2}\cos \beta = t_2\sin(\beta)\cdot gR \quad \Rightarrow \quad v_{2}^{2} = \frac{gR}{\cos \beta};]

O princípio da conservação de energia mecânica afirma que [;E_A = E_B;]. Assim,

[;\frac{mv_{1}^{2}}{2} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg(R + FB) \quad \Rightarrow \quad v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2g(R + FB) \qquad (3);]
Mas,
[;v_{2}^{2} = \frac{gR}{\cos \beta} \qquad (4);]
e
[;FB = R\sin(90^{\circ} - \beta) = R\cos \beta \qquad (5);]

Substituindo [;(4);] e [;(5);] em [;(3);], obtemos
[;v_{1}^{2} = 2gR\bigl[1 + \cos \beta + \frac{1}{2\cos \beta}\bigr];]

Como estamos querendo minimizar [;v_1;] e sendo [;R;] fixo, então, devemos minimizar a expressão

[;\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta;]

e como o grilo está saltando para a direita, só nos interessa os valores de [;\beta;] no intervalo [;0 \prec \beta \prec 90^{\circ};]. Usando o fato de que a média aritmética (MA) de dois números deve ser maior ou igual a média geométrica (MG) deles, temos

[;\frac{1}{2}\biggl[\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta \biggr] \geq 2\sqrt{\frac{2\cos \beta}{\cos \beta}} = 2\sqrt{2};]

Portanto, [;v_{1}^{2};] será mínimo para [;\beta;] se 

[;\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta = 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow;]

[;2\cos^2 \beta - 2\sqrt{2}\cos \beta + 1 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;[\sqrt{2}\cos \beta - 1]^2 \quad \Rightarrow \quad \cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2};]
Logo,
[;v_{1min} = \sqrt{2(1 + \sqrt{2})}\cdot \sqrt{gR} \simeq 2,19\sqrt{gR};]

O que esta resposta não explicita é que na posição para o salto com [;v_1;] mínimo, existe uma distância ideal do grilo ao pé do círculo dado pela projeção horizontal de [;AF;] adicionado ao segmento [;FO;]. Essa distância pode ser obtida em função de [;R;] e [;\beta = 45^{\circ};]. Além disso, este ângulo é formado nos pontos de tangência. Também é interessante observar que a expressão da velocidade mínima é independente do ângulo [;\alpha;].
 
Nota: Tomei conhecimento deste intrigante problema através da Revista Física na Escola, vol. 4, n. 1 de 2003. Desconfiado de que a solução apresentada nesta revista estava errada, resolvi procurar uma outra solução satisfatória, mas também não obtive sucesso. A pouco tempo, propus este problema para o colega Aloisio Teixeira do blog Elementos de Teixeira. Em pouco tempo, ele apresentou esta excelente solução o qual resolvi compartilhar com todos vocês. O blog Fatos Matemáticos em nome de seu autor agradece enormemente por mais esta contribuição.

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9 comentários:

  1. Meus parabéns pela postagem, Paulo! Ótima qualidade!

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    1. Assuntos da Física podem e devem ser apresentados nos moldes matemáticos, pois enriquecem as duas áreas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  2. Olá, Paulo!!!!
    Postagem excelente e interessante!!!! É isso mesmo, com o nosso colega, o Aloísio... "não tem grilo(s)!!!! KKKKKKKKKK, grande inteligência e, como acontece sempre no Brasil, subutilizável e descrente ou até mesmo, perseguida e/ou depreciada de, colocadas em posições de comando e/ou administração e aí, mentes de alta capacidade feito a dele, a sua e de outros mais, ficam perambulando por esse Brasil à fora, com dificuldades até para promover a sua sobrevivência!!!!
    Parabéns, para você e também, para o Aloísio Teixeira!!!!
    Um abraço!!!!!

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    1. Agradeço muito ao Aloisio pelo interesse a este problema. A minha situação atual não está fácil, tenho que fazer peripécias para sobreviver e continuar com o blog. Atualmente o blog recebe diariamente muitas visitas, constatando a sua importância e qualidade. Restringi o acesso aos leitores por 3 dias, mas vejo que todo este material não me pertence mais e deve ser compartilhado. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Olá, Paulo!!!!
    Qual é o grilo????
    Não sei porque depois de ter escrito... "depreciada de,"..., o que escrevi aqui, em seguida, isto é: "gente das mentes incapazes e invejosas, mas,..." aí segue... "colocadas em posições de comando e/ou..." como se lê depois, então, isso não foi registrado no texto!!!! Qual a razão???? Mistérios!!!! Eu, hein????
    Obrigado e... Intel Logo!!!!

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  4. As vezes escrevemos e não lemos. Isto mostra a dinâmica de algumas mentes.

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  5. Depois de bastante tempo,o problema do grilo foi postado.Lembro deste problema ter sido proposto há algum tempo na comunidade "Matemática" pelo senhor.
    Muito bom.

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  6. Professor Paulo, lembro-me de que esse desafio foi lançado há um pouco mais de dois anos, na comunidade do Orkut "Matemática". Depois de muito penar, acabei conseguindo uma resolução. Este é o link:

    http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs?cmm=68052&tid=5477856243826374281&na=3&npn=3&nid=68052-5477856243826374281-5478252209348659893

    Abraço!

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  7. Gostei deste problema. Confesso que demorei um pouco para resolve-lo, mas saiu.
    Fiz conservando a energia e usando uma ou outra fórmula da cinemática.
    Seja v1 a velocidade no ponto tangente e B o angulo formado por v1 e a horizontal neste ponto obtemos, conservando a energia:
    vo²=v1²+2gR(1+cosB) (a)
    pela lei dos cossenos, obtemos que o deslocamento horizontal até o segundo ponto de tangencia (se este existir ou pode coincidir com o primeiro), obtemos:
    d=2RsenB (ou mais fácil, se observar o desenho feito na resolução acima).
    Assim, temos ainda que esse deslocamento será realizado em um tempo t1 que é dado por:
    t1=2v1senB/g (aqui entra a cinemática)
    Assim, d/t1=v1cosB
    2RsenB/2v1senB/g=v1cosB
    v1²=2Rg/cosB
    substituindo em (a)
    vo²=Rg/cosB +2Rg(1+cosB)
    derivando e igualando a zero para encontrar os pontos críticos e fazer os testes necessários para obter o mínimo, chegamos em B=pi/4
    assim:
    vo²=Rg(1/cosB +2(1+cosB))
    vo²=Rg(sqrt(2)+2(1+1/sqrt(2))
    vo=sqrt(Rg).sqrt(2(1+sqrt(2))
    que bate com a sua resposta.

    Até breve.

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