O Problema do Pulo do Grilo

Muitos problemas físicos podem ser modelados usando ferramentas adequadas da Matemática. Sendo assim, a Cinemática é uma área da Física que pode muito bem ser explorada através da Geometria Analítica, do Cálculo e das Equações Diferenciais. O problema seguinte é um exemplo deste fato.

Considere um tronco cilíndrico de seção circular de raio e cujo centro é . Um grilo diante deste tronco deseja pulá-lo com menor velocidade inicial possível. Desprezando o atrito do ar calcule esta velocidade.

Resolução: Conforme a figura abaixo, o problema consiste em achar o menor módulo do vetor velocidade de forma que o grilo salte o tronco com seção transversal de raio .

Nos pontos e , a velocidade do grilo é 

e o ângulo que o vetor faz com a horizontal é . Por outro lado, o módulo da componente vertical de é . Assim, com o eixo vertical orientado para cima, a função horária do movimento vertical com esta componente é . No ponto , temos e , de modo que

 onde é o tempo de vôo do grilo de até . Ainda no ponto , o módulo da componente horizontal do vetor é . Logo, o deslocamento horizontal do grilo de à é dado por

De e , obtemos o sistema de equações:

 

É este sistema que relaciona a parábola aos pontos e de tangência ao círculo e impõe a condição de que a velocidade se anula em . Multiplicando membro à membro e cancelando o fator , temos:

O princípio da conservação de energia mecânica afirma que . Assim,

Mas,

e

Substituindo e em , obtemos

Como estamos querendo minimizar e sendo fixo, então, devemos minimizar a expressão

e como o grilo está saltando para a direita, só nos interessa os valores de no intervalo . Usando o fato de que a média aritmética (MA) de dois números deve ser maior ou igual a média geométrica (MG) deles, temos

Portanto, será mínimo para se 

Logo,

O que esta resposta não explicita é que na posição para o salto com mínimo, existe uma distância ideal do grilo ao pé do círculo dado pela projeção horizontal de adicionado ao segmento . Essa distância pode ser obtida em função de e . Além disso, este ângulo é formado nos pontos de tangência. Também é interessante observar que a expressão da velocidade mínima é independente do ângulo .
 

Nota: Tomei conhecimento deste intrigante problema através da Revista Física na Escola, vol. 4, n. 1 de 2003. Desconfiado de que a solução apresentada nesta revista estava errada, resolvi procurar uma outra solução satisfatória, mas também não obtive sucesso. A pouco tempo, propus este problema para o colega Aloisio Teixeira do blog Elementos de Teixeira. Em pouco tempo, ele apresentou esta excelente solução o qual resolvi compartilhar com todos vocês. O blog Fatos Matemáticos em nome de seu autor agradece enormemente por mais esta contribuição.

Gostará de ler também:

- O Problema do Trem;

- Lançando Bombas.