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quinta-feira, 2 de agosto de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 16)

[;46);] (OBM - 1997) Seja [;f;]uma função definida para todo [;x\;] real, satisfazendo as condições:
[;\begin{cases}f(3) = 2\\f(x + 3) = f(x)\cdot f(3)\end{cases};]
calcule [;f(-3);].

[;47);] Seja [;f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d;] com [;a,b,c,d \in \mathbb{R};] e [;a \neq 0;]. Se existe [;x_0;] tal que [;f^{\prime}(x_0) = 0;] e [;f^{\prime \prime}(x_0)\ > \ 0;], (ou seja, [;P_0(x_0,f(x_0));] é um ponto de mínimo local), então existe [;x_1;] tal que [;f^{\prime}(x_1) = 0;] e [;f^{\prime \prime}(x_1)\ < \ 0;].
 
[;48);] Na figura abaixo, a circunferência de centro [;O;] tem raio [;6;], [;O\hat{A}C = \arctan \ 1/2;] e [;C;] é um ponto de tangência. Calcule a área do [;\triangle ABC;].
Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 15).
 
[;43);] Ache a solução do problema de valor inicial
 
[;\begin{cases}u_{n+1}^2 = u_n, \qquad n \geq 1\\u_0 = 3\end{cases};]
Resolução: 
[;1^{\circ});] modo:) Seja [;v_n = \ln u_n;]. Assim, 
[;\ln u_{n+1}^{2} = \ln u_n \quad \Rightarrow \quad 2\ln u_{n+1} = v_n \quad \Rightarrow;]
[;\begin{cases}v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n\\ v_0 = \ln 3\end{cases};]
Aplicando a transformada discreta de Laplace, temos:
[;\ell_d\{v_{n+1}\} = \frac{1}{2}\ell_d\{v_n\} \quad \Rightarrow \quad e^sV(s) - e^sv_0 = \frac{1}{2}V(s) \quad \Rightarrow;]
[;(e^s - 1/2)V(s) = e^s\ln 3 \quad \Rightarrow \quad V(s) = \frac{e^s\ln 3}{e^s - 1/2} \quad \Rightarrow;]
 [;v_n = \ln 3\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n \quad \Rightarrow \quad u_n = e^{v_n} = e^{\ln 3 (1/2)^n} = 3^{1/2^n};]
Na penúltima expressão foi tomada a transformada discreta inversa de Laplace para obter [;v_n;].
[;2^{\circ});] modo:) Sabe-se que [;u_{n+1}^{2} = u_n;], ou seja, [;u_{n+1} = \sqrt{u_n};]. Observe que [;u_{n}^{2n} = u_0;], o que pode ser provado por indução finita. Provemos
i) [;n = 0;], a fórmula se verifica. 
ii) Suponha que a expressão seja válida para [;n = k;] e provemos sua validade para [;n = k+1;]. De fato, 
[;u_{k+1}^{2} = u_k = \sqrt[2k]{u_0} = u_{0}^{1/(2k)}\quad \Rightarrow;]
Isto é, a fórmula verifica-se para [;n = k+1;] também. Logo,  [;u_n = \sqrt[2n]{3};].
 
Solução enviada pelo leitor Hugo Cattarucci. 
 
[;44);] Sejam [;x_1;],[;x_2;] e [;x_3;] raízes da equação [;x^3 - x^2 + 1 = 0;]. Calcule
 [;\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} + \frac{1}{x_{3}^{2}};]
Resolução: Seja [;y = 1/x;]. Assim, [;y^3 - y + 1 = 0;] e pela relação de Girard, temos:
[;y_1 + y_2 + y_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y_1 + y_2 + y_3)^2 = 0 \quad \Rightarrow;] 
[;y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + 2y_1y_2 + 2y_1y_3 + 2y_2y_3 = 0 \quad \Rightarrow;] 
[;y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + 2\cdot (-1) = 0 \quad \Rightarrow;] 
[;\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} + \frac{1}{x_{3}^{2}} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} = 2;]
onde [;y_1,y_2;] e [;y_3;] são as raízes da equação cúbica na variável [;y;].
[;45);] Dado o polígono estrelado de cinco pontas abaixo, mostre que
[;\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} + \hat{E} = 180^{\circ};] 
Resolução: Considere a figura abaixo: 

Note que [;x + y + z = 180^{\circ};], de modo que [;x + y = 180^{\circ} - z;]. Mas, [;b + e + z = 180^{\circ};]de modo que [;b + e = 180^{\circ} - z;]. Assim, 
[;x + y = b + e \quad (1);]
Por outro lado, no [;\triangle ACD;]:
[;a + c + y + d + x = 180^{\circ} \quad (2);]
Substituindo [;(1);] em [;(2);] segue o resultado. 
 
Solução enviada pelo leitor Diogo.

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;46);], [;47);] e [;48);] encerra no dia 31/08/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.
 
Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição enviando soluções. Meus sinceros agradecimentos.

- Diogo - Probs. [;44;] e [;45;]
- Hugo Cattarucci - Todos
 
Gostará de ler também:
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 2.8.12
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7 comentários:

  1. Excelente post, muito legal a solução do 43 por T. de Laplace. Já estou enviando minhas soluções dos novos problemas propostos. T+.
    Hugo Cattarucci Botós/hugocito.

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  2. As transformadas discretas de Laplace são muito úteis para resolver equações de recorrências lineares. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  3. Concordo com o Hugo. A resolução do exercício [;43;] usando as [;TDL;] é belo. Isto mostra o prazer que temos ao utilizar ferramentas inéditas.

    Já o exercício [;44;] utilizando a identidade de Newton, fica:

    Para a equação [;x^3-x^2+1=0;],

    a soma das raízes é [;S_1=1;]

    Além disso, [;S_0=1+1+1=3;]

    Da identidade [;1.S_1-1.S_0+0.S_{-1}+1.S_{-2}=0\Rightarrow;], temos

    [;1.1-1.(3)+0.S_{-1}+1.S_{-2}=0 \Rightarrow;]

    [;S_{-2}=2;]

    Parabéns ao Hugo pela resolução de todos os exércícios.

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  4. Lamentablemente no hablo portugues, asi que hare mi comentario in ingles. Professor Sergio, you blog is very good, I enjoy very much even thouh I am no a mathematician. There is something I do not understand from problem number 44's soltuion. I see clear the reason of the variable change; but I don't get why you say that y^3-y+1=0; in other words, why the degree of the second term changes to 1 instead of 2 as the original problem (I was expecting y^3-y^2+1=0). My greetings, mis saludos....Marcial

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  5. Dada a equação [;x^3 - x^2 + 1 = 0;], fazendo [;y=1/x;], após algumas contas algébricas o termo quadrático é eliminado. Verifique isso. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  6. Professor, I got it, muchas gracias, moito obrigado....mf

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  7. Uma curiosa solução para o problema 45 acima: coloque um palito de fósforo na linha AC, com seu inicio em (A) e a cabeça do fósforo apontada para (C). Deslize o fósforo até sua cabeça atingir (C). Nesse instante fixe a cabeça em (C) e gire o fósforo até que ele se alinhe com CE. Em seguida, deslize-o até que encontre (E) e gire-o até que se alinhe com EB. Deslize-o até atingir B e gire-o até que se alinhe com BD. Deslize-o até atingir (D) e gire-o até que se alinhe com DA. Deslize-o até atingir (A) e finalmente, gire-o até que se alinhe com AC.

    Feito isso, o fósforo chegou à sua posição inicial, mas com sua cabeça voltada para (A), o que significa que ele foi girado 180º.

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