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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 17)

[;49);] Ache uma relação entre o raio do círculo menor e o lado do quadrado de lado [;l;] na figura abaixo. 
[;50);] Mostre que [;\sqrt{6} = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};].
[;51);] Seja [;k;] um número real tal que a desigualdade 

[;\sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x} \geq k;]
tenha uma solução. Ache o valor máximo de [;k;].

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 16). 

[;46);] (OBM - 1997) Seja [;f;]uma função definida para todo [;x\;] real, satisfazendo as condições:
[;\begin{cases}f(3) = 2\\f(x + 3) = f(x)\cdot f(3)\end{cases};]
calcule [;f(-3);].

Resolução: Para [;x = -3;] na expressão dada, temos:
[;f(0) = f(-3 + 3) = f(-3)\cdot f(3) \quad \Rightarrow \quad f(-3) = \frac{f(0)}{2};]
Para [;x = 0;]
[;f(0 + 3) = f(0)\cdot f(3) \quad \Rightarrow \quad 2 = f(0)\cdot 2 \quad \Rightarrow \quad f(0) = 1;] 

Logo, [;f(-3) = 1/2;].

[;47);] Seja [;f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d;] com [;a,b,c,d \in \mathbb{R};] e [;a \neq 0;]. Se existe [;x_0;] tal que [;f^{\prime}(x_0) = 0;] e [;f^{\prime \prime}(x_0)\ > \ 0;], (ou seja, [;P_0(x_0,f(x_0));] é um ponto de mínimo local), então existe [;x_1;] tal que [;f^{\prime}(x_1) = 0;] e [;f^{\prime \prime}(x_1)\ < \ 0;].
Resolução:  Sendo [;f^{\prime}(x) = 3ax^2 +2bx + c;], segue da hipótese que [;3ax_{0}^{2} + 2bx_0 + c = 0;], de modo que [;x_0;] é raiz de uma equação quadrática. Consequentemente, [;\Delta \geq 0;].
Afirmação 1: [;\Delta \succ 0;]
De fato, se [;\Delta = 0;], então 
[;x_0 = x_v = -\frac{2b}{6a} \quad \Rightarrow \quad 6ax_0 + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad f^{\prime \prime}(x_0) = 0;]
Absurdo!! 
Consequentemente, existe [;x_1 \in \mathbb{R};] tal que [;f^{\prime}(x_1) = 0;].

Afirmação 2: [;f^{\prime \prime}(x_1) \prec 0;] 

Resolvendo [;f^{\prime}(x) = 0;], obtemos
[;x = \frac{-2b \pm \sqrt{\Delta}}{6a} = -\frac{b}{3a} \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{6a};]
Como [;f^{\prime \prime}(x) = 6ax + 2b;] e [;f^{\prime \prime}(x_0) \succ 0;], então [;x_0 = -\frac{b}{3a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{6a};] e [;x_1 = -\frac{b}{3a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{6a};], de modo que [;f^{\prime \prime}(x_1) = 6ax_1 + 2b = -\sqrt{\Delta} \succ 0;].

[;48);] Na figura abaixo, a circunferência de centro [;O;] tem raio [;6;], [;O\hat{A}C = \arctan \ 1/2;] e [;C;] é um ponto de tangência. Calcule a área do [;\triangle ABC;].
Resolução: Seja [;\alpha = O\hat{A}C;]. Como o triângulo [;AOC;] é isósceles, então [;A\hat{C}O = \alpha;], de modo que o ângulo externo [;B\hat{O}C = 2\alpha;]. Por hipótese, [;\tan \alpha = 1/2;] e sendo [;\tan(2\alpha) = BC/6;] pois a tangente externa [;BC;] é perpendicular a [;OC;], segue que 
[;\frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{BC}{6} \quad \Rightarrow \quad BC = 8;]

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [;OBC;], temos [;BO^2 = 6^2 + BC^2;], de modo que [;BO = 10;] e [;AB = BO + OA = 10 + 6 = 16;]. Sendo [;\sin \alpha = 1/\sqrt{5};] e [;\cos \alpha = 2/\sqrt{5};], então
[;S = \frac{AB\cdot BC}{2}\sin(90^{\circ} - 2\alpha) = 64\cos(2\alpha) = 64(\cos^2\alpha - \sin^2 \alpha);]
[;= 64\biggl(\frac{4}{5} - \frac{1}{5}\biggr) = 38,4;]
O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;49);], [;50);] e [;51);] encerra no dia 30/09/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.  

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição enviando soluções. Meus sinceros agradecimentos.

- Diogo - Probs. 46 e 48.
- Hugo Cattarucci - Todos

Um comentário:

  1. O problema 50 é radical duplo. Fazendo os respectivos calculos vamos chegar a 2v3/v2 = v6 .

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