Membros

segunda-feira, 15 de outubro de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 18)

[;52);] Calcule o volume de um toro gerado pela rotação da região delimitada pela circunferência [;(x - a)^2 + y^2 = r^2;] em torno do eixo [;y;] sendo [;0 \prec r \prec a;]

[;53);] Considere o [;\triangle ABC;] isósceles com [;AB = AC;]. Suponha o ângulo bissetor de [;B;] intercepta o lado [;AC;] em [;D;] e que [;BC = BD + AD;]. Determine o ângulo [;\hat{A};].

[;54);]  Calcule a integral imprópria abaixo:

[;\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + a^2}dx;]
sendo [;a \succ 0;].  

Sugestão: Escreva a integral acima na forma: [;\int_{0}^{a} + \int_{a}^{\infty};]

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 17).


[;49);] Ache uma relação entre o raio do círculo menor e o lado do quadrado de lado [;l;] na figura abaixo.
Resolução: Sejam [;R;] o raio do círculo maior e [;r;] o raio do círculo menor. Considere também o [;\triangle ABC;] retângulo em [;B;] conforme a figura abaixo

Pelo teorema de Pitágoras, temos:
[;AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad (R + r)^2 = (l - r)^2 + (l/2 - r)^2;] 
Usando o fato que [;l = 2R;], após alguns cálculos obtemos
[;r^2 - 4lr + l^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r_1 = (2 + \sqrt{3})l \quad \text{e} \quad r_2 = (2 - \sqrt{3})l;]
Como [;r_1 \prec l;], a raiz [;r_1;] não é admissível. Logo, [;r = (2 - \sqrt{3})l;].

Solução enviada pelo leitor Diogo Cardoso. 


[;50);] Mostre que [;\sqrt{6} = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};].
Resolução: Seja [;x = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};]. Elevando [;x\;] ao quadrado, temos:

[;x^2 = 1 + i\sqrt{3} + 2\sqrt{1 + i\sqrt{3}}\cdot \sqrt{1 - i\sqrt{3}} + 1 - i\sqrt{3} \quad \Rightarrow;]  
[;x^2 = 2 + 2\sqrt{1 + 3} = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{6};]

Solução adaptada de vários leitores. 
[;51);] Seja [;k;] um número real tal que a desigualdade 

[;\sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x} \geq k;]
tenha uma solução. Ache o valor máximo de [;k;].

Resolução: Note que o conjunto de valores possíveis de [;x\;] é o intervalo fechado [;[3,6];]. Tomando [;a = \sqrt{x - 3};][;b = \sqrt{6 - x};], da desigualdade aritmética-geométrica sabemos que 
[;\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab};]
Assim, tomando [;k = 2\sqrt{ab};], garantimos que [;k_{max};] ocorre se [;a = b;]. Portanto, 

[;\sqrt{x - 3} = \sqrt{6 - x} \quad \Rightarrow \quad x = 9/2;]
 Para este valor de [;x\;], obtemos [;k = \sqrt{6};]. Um outro modo de resolver esta questão é analisar o comportamento da função [;k(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x};] via Cálculo Diferencial e Integral.
 
Solução enviada pelo leitor Diogo Cardoso.

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;52);] , [;53);] e [;54);] encerra no dia 30/10/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.  

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição enviando soluções. Meus sinceros agradecimentos.

- Daniel Natividade - Problema 50
- Diogo Cardoso - Todos
- Felipe Botega Diniz - Problema 50
- João Vitor Mussel Canato - Probs. 50 e 51

3 comentários:

  1. Algumas partes precisam ser redigitadas

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Aqui no meu computador, está tudo funcionando perfeitamente. Mas irei investigar o que está acontecendo.

      Excluir
  2. Senao, meu navegador q ficou bixado : /

    ResponderExcluir