FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 18)

segunda-feira, 15 de outubro de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 18)

$[;52);]$ Calcule o volume de um toro gerado pela rotação da região delimitada pela circunferência $[;(x - a)^2 + y^2 = r^2;]$ em torno do eixo $[;y;]$ sendo $[;0 \prec r \prec a;]$ .

$[;53);]$ Considere o $[;\triangle ABC;]$ isósceles com $[;AB = AC;]$ . Suponha o ângulo bissetor de $[;B;]$ intercepta o lado $[;AC;]$ em $[;D;]$ e que $[;BC = BD + AD;]$ . Determine o ângulo $[;\hat{A};]$ .

$[;54);]$ Calcule a integral imprópria abaixo:

$[;\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2 + a^2}dx;]$

sendo $[;a \succ 0;]$ .

Sugestão: Escreva a integral acima na forma: $[;\int_{0}^{a} + \int_{a}^{\infty};]$

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 17).

$[;49);]$ Ache uma relação entre o raio do círculo menor e o lado do quadrado de lado $[;l;]$ na figura abaixo.

Resolução: Sejam $[;R;]$ o raio do círculo maior e $[;r;]$ o raio do círculo menor. Considere também o $[;\triangle ABC;]$ retângulo em $[;B;]$ conforme a figura abaixo

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$[;AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad (R + r)^2 = (l - r)^2 + (l/2 - r)^2;]$

Usando o fato que $[;l = 2R;]$ , após alguns cálculos obtemos

$[;r^2 - 4lr + l^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r_1 = (2 + \sqrt{3})l \quad \text{e} \quad r_2 = (2 - \sqrt{3})l;]$

Como $[;r_1 \prec l;]$ , a raiz $[;r_1;]$ não é admissível. Logo, $[;r = (2 - \sqrt{3})l;]$ .

Solução enviada pelo leitor Diogo Cardoso.

$[;50);]$ Mostre que $[;\sqrt{6} = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};]$ .

Resolução: Seja $[;x = \sqrt{1 + i\sqrt{3}} + \sqrt{1 - i\sqrt{3}};]$ . Elevando $[;x\;]$ ao quadrado, temos:

$[;x^2 = 1 + i\sqrt{3} + 2\sqrt{1 + i\sqrt{3}}\cdot \sqrt{1 - i\sqrt{3}} + 1 - i\sqrt{3} \quad \Rightarrow;]$

$[;x^2 = 2 + 2\sqrt{1 + 3} = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{6};]$

Solução adaptada de vários leitores.
$[;51);]$ Seja $[;k;]$ um número real tal que a desigualdade

$[;\sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x} \geq k;]$

tenha uma solução. Ache o valor máximo de $[;k;]$ .

Resolução: Note que o conjunto de valores possíveis de $[;x\;]$ é o intervalo fechado $[;[3,6];]$ . Tomando $[;a = \sqrt{x - 3};]$ e $[;b = \sqrt{6 - x};]$ , da desigualdade aritmética-geométrica sabemos que

$[;\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab};]$

Assim, tomando $[;k = 2\sqrt{ab};]$ , garantimos que $[;k_{max};]$ ocorre se $[;a = b;]$ . Portanto,

$[;\sqrt{x - 3} = \sqrt{6 - x} \quad \Rightarrow \quad x = 9/2;]$

Para este valor de $[;x\;]$ , obtemos $[;k = \sqrt{6};]$ . Um outro modo de resolver esta questão é analisar o comportamento da função $[;k(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x};]$ via Cálculo Diferencial e Integral.

Solução enviada pelo leitor Diogo Cardoso.

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;52);]$ , $[;53);]$ e $[;54);]$ encerra no dia 30/10/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição enviando soluções. Meus sinceros agradecimentos.

- Daniel Natividade - Problema 50
- Diogo Cardoso - Todos
- Felipe Botega Diniz - Problema 50
- João Vitor Mussel Canato - Probs. 50 e 51