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Matrizes (Parte 1)

Buscarei nesta série de posts apresentar as matrizes de uma forma diferente, direcionado aos leitores que estão familiarizado com o assunto. Estaremos mais preocupados com o desenvolvimento axiomático da teoria do que com os diversos exemplos numéricos presentes na maioria dos livros textos. 

O desenvolvimento das matrizes iniciou-se com o matemático inglês Arthur Cayley em 1855. Neste artigo, ele fez questão de salientar que, embora logicamente a ideia de matriz preceda a de determinantes, historicamente ocorreu o contrário, ou seja, os determinantes já eram usados há muito tempo na resolução de sistemas lineares. Quanto às matrizes, Cayley introduziu-as para simplificar a notação de uma transformação linear. 

Para saber mais sobre as contribuições de Arthur Cayley sobre o desenvolvimento das matrizes recomendo o excelente post do blog O Baricentro da Mente: Cayley e a Teoria das Matrizes. Vejamos então o desenvolvimento desta grande teoria que desempenha um papel importante na Álgebra Linear e nos sistema de equações lineares. 

Definição 1: Sejam [;m;] e [;n;] inteiros positivos positivos e [;\mathbb{R};] o conjunto dos números reais. Chama-se matriz a um arranjo retangular em que são dispostos [;m\cdot n;] números em [;m;] linhas e [;n;] colunas. 

Umas matriz é denotada por
 [;A = (a_{ij})_{m\times n};] 
sendo [;a_{ij};] o elemento presente na i-ésima linha e na j-ésima coluna. Na expressão acima, i é o índice da linha e j é o índice da coluna, sendo [;1 \leq i \leq m;] e [;1 \leq j \leq n;]. 

A matriz [;A;] diz-se quadrada se o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, [;m = n;]. Caso contrário, a matriz é dita retangular. Dizemos que [;A;] é uma linha se [;m=1;] e uma matriz coluna se [;n = 1;]

Denotamos por [;M_{m\times n}(\mathbb{R});] o conjunto de todas as matrizes do tipo [;m\times n;] sobre [;\mathbb{R};]. É importante observar que em algumas aplicações de matrizes, faz-se necessário substituir o corpo dos números reais pelo corpo dos números complexos ([;\mathbb{C};]). O conjunto de todas as matrizes do tipo [;m\times n;] sobre [;\mathbb{C};] é denotado por [;M_{m\times n}(\mathbb{C});].

Definição 2: As matrizes 
[;A = (a_{ij})_{m\times n} \qquad \text{e} \qquad B = (b_{kl})_{p\times q};]
são iguais se e somente se [;m = p;], [;n = q;]
[;a_{ij} = b_{ij}, \qquad i=1,\ldots,m, \quad   j=1,\ldots,n;]

Definição 3: Dada a matriz quadrada [;A \in M_{m\times n}(\mathbb{R});], os elementos [;a_{ij};] tais que [;i = j;] são chamados elementos diagonais de [;A;]. Chama-se diagonal principal de [;A;], a sequência ordenada constituída pelos elementos diagonais. A sequência ordenada 
[;a_{n1},a_{n-1,2},\ldots,a_{1n};]
da outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de [;A;].

Exemplo 1: Na matriz quadrada de ordem [;2;] abaixo, os elementos [;1;] e [;-1;] constituem a diagonal principal e os elementos [;0;] e [;2;] constituem a diagonal secundária. 
[;\begin{bmatrix}1 & 2\\0 & -1\\ \end{bmatrix};]

No processo de colocar uma matriz na forma escada ou na fatoração LU surgem as matrizes triangulares que definiremos abaixo. 

Definição 4: Uma matriz quadrada [;A \in M_{n\times n}(\mathbb{R});] diz-se
[;i);] triangular superior se [;a_{ij} = 0;] para [;i > j;].
[;\begin{bmatrix}a_{11}& a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix};]

[;ii);] triangular inferior se [;a_{ij} = 0;] para [;i < j;].
[;\begin{bmatrix}a_{11}& 0 & \ldots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & 0\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix};]
[;iii);] diagonal se [;a_{ij} = 0;] para [;i \neq j;].
[;\begin{bmatrix}a_{11}& 0 & \ldots & 0\\ 0 & a_{22} & \ldots & 0\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix};]
É importante uma matriz que representa o elemento neutro no produto matricial que será definido futuramente. Esta matriz é a matriz identidade apresentada na definição a seguir. 

Definição 5: A matriz identidade de ordem [;n;], denotada por [;I_n;], é a matriz diagonal de ordem [;n;] com elementos diagonais iguais a [;1;].
[;I_n = \begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1\\ \end{bmatrix} = [\delta_{ij}]_{n\times n};]
É usual denotar o elemento [;(i,j);] da matriz [;I_n;] por [;\delta_{ij};] (delta de Kronecker).

Definição 6: Chama-se operações linhas elementares as seguintes operações sobre as linhas de uma matriz:
[;i);] Substituição de uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um múltiplo de outra linha;
[;ii);] Permutação de duas linhas de uma matriz;
[;iii);] Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero. 

No próximo post, veremos as operações com as matrizes, tais como soma, produto por escalar e produto matricial, com ênfase na demonstração das propriedades.

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6 comentários:

  1. Respostas
    1. Buscarei nesta série apresentar as matrizes de um modo diferente, destacando as suas propriedades. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  2. Estritamente falando, a expressão "arranjo retangular" não tem significado. Portanto, já que sua a preocupação é "o desenvolvimento axiomático da teoria", sua definição compromete a exposição. Para uma exposição da natureza pretendida, sugiro colocar uma definição que utilize conceitos matemáticos que possuam significados precisos e claros. Obviamente pode-se optar por definir "arranjo retangular", entretanto isso me parece menos conveniente. Mais obviamente ainda, pode-se optar por aceitar "arranjo retangular" como uma noção primitiva - mas isso já fazem no primário.

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    1. Olá Anônimo, concordo com você que a definição apresentada carece de significados precisos e claros. Não encontrei nada mais rigoroso para expor. Se tiver alguma sugestão fique a vontade.

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    2. Sugiro que olhe o livro Linear Algebra de K. Hoffman and R. Kunze (página 6, da segunda edição). Você notará que uma "matriz m por n" é uma função A:X->K, onde X={(i,j); 0<i<m+1, 0<j<n+1} e K é corpo. A cada par (i,j) de X a função A associa um elemento de K denotado (segundo a notação convencional) por aij. Assim, a definição matemática de matriz utiliza a noção de função que é algo com significado bastante claro. O arranjo retangular é apenas o modo de se representar a matriz.

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    3. Oi, Paulo

      Parabéns pelo artigo, muito bem organizado e estruturado.

      Acredito naquele ditado que diz que para o bom entendedor, meia palavra basta.

      Mas importante do que firulas de definição são os resultados que podemos conseguir com os objetos de estudos.

      Se uma definição intuitiva não prejudicar os resultados válidos, então a mesma tem tanto valor quanto uma definição rigorosa.

      Portanto, concordo com o Cristiano Marcell, ou seja, tudo que é bem feito é belo.

      Prossiga na missão, meu amigo.

      Até mais!

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