FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 20)

sábado, 15 de dezembro de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 20)

$[;58);]$ Prove que

[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n};]

para [;n \geq 2;].

$[;59);]$ Uma janela será construída para a parede de uma igreja. Esta janela é constituída de um retângulo de altura $[;b;]$ e na parte superior por um semicírculo de raio $[;r;]$ . Sendo o perímetro da janela igual a [;P = 4\pi + 4 \ m;], ache suas dimensões de modo a permitir a maior passagem da luz.

$[;60);]$ (AMO - 1984) Mostre que a equação $[;x^4 + 131 = 3y^4;]$ não admite soluções inteiras.

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 19).

$[;55);]$ Um torneira enche um tanque em $[;4\ h;]$ e outra enche em $[;6 \ h;]$ , enquanto um ralo o esvazia em $[;2\ h;]$ . Admitindo o tanque inicialmente cheio e o sistema (torneiras e válvula) funcionando, em quantas horas o mesmo ficará vazio?

Resolução: Seja $[;V;]$ o volume do tanque. A primeira torneira enche o tanque em quatro horas, então em uma hora esta torneira encherá $[;V/4;]$ do tanque. Analogamente, a segunda torneira em uma hora encherá $[;V/6;]$ do tanque. Portanto,

$[;\frac{V}{4} + \frac{V}{6} = \frac{3V + 2V}{12} = \frac{5V}{12};]$

Por outro lado, o ralo esvazia o tanque em duas horas, de modo que $[;-V/2;]$ representa o volume de água que saiu do tanque em uma hora. Assim,

$[;\frac{5V}{12} - \frac{V}{2} = -\frac{V}{12};]$

reprenta o volume que saiu do tanque em uma hora. Deste modo, o tanque ficará completamente vazio em $[;12 \ h;]$ .

$[;56);]$ Resolva a desigualdade

$[;\frac{|2x^2 - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2};]$

Resolução: Considere a função $[;f(x) = 2x^2 - 1;]$ cujas raízes são $[;-1/\sqrt{2};]$ e $[;1/\sqrt{2};]$ . O método que usaremos é dividido em três casos.

Caso 1: $[;x < -1/\sqrt{2};]$ ou $[;I_1 = (-\infty,-1/\sqrt{2});]$ . Neste caso, $[;|2x^2 - 1| = 2x^2 - 1;]$ . Assim,

$[;\frac{|2x^2 - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2x^2 - 1}{x^2 - x - 1} - \frac{1}{2} > 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{x(3x + 1)}{2(x - 2)(x + 1) } > 0;]$

No numerador e denominador, temos expressões quadráticas com o coeficiente do termo quadrático positivo. Deste modo, temos o diagrama:

Logo, $[;S_{1}^{\prime} = (-\infty,-1)\cup (-1/3,0)\cup (2,+\infty);]$ e a solução parcial é dada por:

$[;S_1 = S_{1}^{\prime}\cap I_1 = I_1;]$

Caso 2: $[;-1/\sqrt{2} \leq x \leq 1/\sqrt{2};]$ ou $[;I_2 = [-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}];]$ . Neste caso, $[;|2x^2 - 1| = -(2x^2 - 1) = -2x^2 + 1;]$ . Assim,

$[;\frac{|2x^2 - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{-5x^2 + x + 4}{2(x^2 - x - 2)} > 0;]$

Fatorando as expressões quadráticas, obtemos

$[;\frac{-5(x + 4/5)(x - 1)}{2(x - 2)(x +1)} > 0;]$

de modo que

$[;S_{2}^{\prime} = (-1,-4/5)\cup(1,2) \quad \Rightarrow \quad S_2 = S_{2}^{\prime}\cap I_2 = (-4/5,-1/\sqrt{2});]$

Caso 3: $[;x > 1/\sqrt{2};]$ ou $[;I_3 = (1/\sqrt{2},+\infty);]$

Este caso é semelhante ao caso 1 e a solução é dada por $[;S_3 = (1/\sqrt{2},+\infty);]$ .

Logo, a solução da inequação dada é

$[;S = S_1\cup S_2\cup S_3 = (-\infty,-1/\sqrt{2})\cup (1/\sqrt{2},\infty);]$

$[;57);]$ Na figura abaixo, os círculos são concêntricos, $[;AB;]$ é tangente ao círculo interno e $[;AB = 20;]$ . Ache a área do anel sombreado.

Resolução: Seja $[;S;]$ a área da coroa circular. Do triângulo retângulo $[;AM0;]$ da figura abaixo, temos:

$[;OA^2 = AM^2 + OM^2 \quad \Rightarrow \quad r_{2}^{2} = \bigl(\frac{AB}{2}\bigr)^2 + r_{1}^{2} \quad \Rightarrow;]$

$[;r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = 10^2 \quad \Rightarrow \quad S = \pi r_{2}^{2} - \pi r_{1}^{2} = 100 \pi;]$

Participe enviando as soluções dos problemas $[;58);]$ , $[;59);]$ e $[;60);]$ no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/01/2013.

Gostará de ler também:

- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 18);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 17).

4 comentários:

Aloisio Teixeira15 de dezembro de 2012 21:27
Muito bonito o problema 57. Através de um únicos egmento, calcula-se a área em uma figura curva.

E se fosse um plano limitado por uma esfera superior que tangencia uma esfera inferior concêntrica? É possível calcular o volume entre as esferas?

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Anônimo16 de dezembro de 2012 06:47
Em vez de (5V - 6V)/12 = -V/6, não deveria ser - V/12?

Abraços

Sebá
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