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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 20)

[;58);] Prove que
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n};]
para [;n \geq 2;].
[;59);] Uma janela será construída para a parede de uma igreja. Esta janela é constituída de um retângulo de altura [;b;] e na parte superior por um semicírculo de raio [;r;]. Sendo o perímetro da janela igual a [;P = 4\pi + 4 \ m;], ache suas dimensões de modo a permitir a maior passagem da luz. 

[;60);] (AMO - 1984) Mostre que a equação [;x^4 + 131 = 3y^4;] não admite soluções inteiras. 

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 19).

[;55);]  Um torneira enche um tanque em [;4\ h;] e outra enche em [;6 \ h;], enquanto um ralo o esvazia em [;2\ h;]. Admitindo o tanque inicialmente cheio e o sistema (torneiras e válvula) funcionando, em quantas horas o mesmo ficará vazio?

Resolução: Seja [;V;] o volume do tanque. A primeira torneira enche o tanque em quatro horas, então em uma hora esta torneira enche[;V/4;] do tanque. Analogamente, a segunda torneira em uma hora encherá [;V/6;] do tanque. Portanto,
[;\frac{V}{4} + \frac{V}{6} = \frac{3V + 2V}{12} = \frac{5V}{12};]
Por outro lado, o ralo esvazia o tanque em duas horas, de modo que [;-V/2;] representa o volume de água que saiu do tanque em uma hora. Assim, 
[;\frac{5V}{12} - \frac{V}{2} = -\frac{V}{12};]

reprenta o volume que saiu do tanque em uma hora. Deste modo, o tanque ficará completamente vazio em [;12 \ h;].

[;56);] Resolva a desigualdade
[;\frac{|2x^2 - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2};] 

Resolução: Considere a função [;f(x) = 2x^2 - 1;] cujas raízes são [;-1/\sqrt{2};] e [;1/\sqrt{2};]. O método que usaremos é dividido em três casos. 
Caso 1: [;x < -1/\sqrt{2};] ou [;I_1 = (-\infty,-1/\sqrt{2});]. Neste caso, [;|2x^2 - 1| = 2x^2 - 1;]. Assim, 
[;\frac{|2x^2 - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2x^2 - 1}{x^2 - x - 1} - \frac{1}{2} > 0 \quad \Rightarrow;]
[;\frac{x(3x + 1)}{2(x - 2)(x + 1) } > 0;]
No numerador e denominador, temos expressões quadráticas com o coeficiente do termo quadrático positivo. Deste modo, temos o diagrama
Logo, [;S_{1}^{\prime} = (-\infty,-1)\cup (-1/3,0)\cup (2,+\infty);] e a solução parcial é dada por:
[;S_1 = S_{1}^{\prime}\cap I_1 = I_1;]
Caso 2: [;-1/\sqrt{2} \leq x \leq 1/\sqrt{2};] ou [;I_2 = [-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}];]. Neste caso, [;|2x^2 - 1| = -(2x^2 - 1) = -2x^2 + 1;]. Assim, 
[;\frac{|2x^2 - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{-5x^2 + x  + 4}{2(x^2 - x - 2)} > 0;]
Fatorando as expressões quadráticas, obtemos
[;\frac{-5(x + 4/5)(x - 1)}{2(x - 2)(x +1)} > 0;] 

de modo que
[;S_{2}^{\prime} = (-1,-4/5)\cup(1,2) \quad \Rightarrow \quad S_2 = S_{2}^{\prime}\cap I_2 = (-4/5,-1/\sqrt{2});]  
Caso 3: [;x > 1/\sqrt{2};] ou [;I_3 = (1/\sqrt{2},+\infty);] 

Este caso é semelhante ao caso 1 e a solução é dada por [;S_3 = (1/\sqrt{2},+\infty);].

Logo, a solução da inequação dada é 

[;S = S_1\cup S_2\cup S_3 = (-\infty,-1/\sqrt{2})\cup (1/\sqrt{2},\infty);]
 
[;57);] Na figura abaixo, os círculos são concêntricos, [;AB;] é tangente ao círculo interno e [;AB = 20;]. Ache a área do anel sombreado. 
Resolução: Seja [;S;] a área da coroa circular. Do triângulo retângulo [;AM0;] da figura abaixo, temos:
 [;OA^2 = AM^2 + OM^2 \quad \Rightarrow \quad r_{2}^{2} = \bigl(\frac{AB}{2}\bigr)^2 + r_{1}^{2} \quad \Rightarrow;]

[;r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = 10^2 \quad \Rightarrow \quad S = \pi r_{2}^{2} - \pi r_{1}^{2} = 100 \pi;]
Participe enviando as soluções dos problemas [;58);], [;59);] e [;60);] no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/01/2013.


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4 comentários:

  1. Muito bonito o problema 57. Através de um únicos egmento, calcula-se a área em uma figura curva.

    E se fosse um plano limitado por uma esfera superior que tangencia uma esfera inferior concêntrica? É possível calcular o volume entre as esferas?

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    1. Fazendo a diferença entre os volumes das esferas concêntricas e desenvolvendo as contas, percebe que não é possível achar o volume entre as esferas conhecendo apenas a área do plano que tangencia a esfera inferior. A pergunta foi bem interessante. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  2. Em vez de (5V - 6V)/12 = -V/6, não deveria ser - V/12?

    Abraços

    Sebá

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    1. É verdade Sebá. Digitei rapidamente a solução e fiz conta errada. Já corrigi o problema.

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