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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 21)

[;61);] Prove que [;\sqrt[n]{n} < 1 + \sqrt{\frac{2}{n}};] se [;n;] é um inteiro positivo. 
[;62);] Na figura abaixo, [;AP/PB = 3/4;] e [;AR/RC = 3/2;]. Prove que [;C;] é o ponto médio de [;BZ;].
[;63);] Prove que existe exatamente uma única terna de números [;(n,n+2,n+4);] no qual os três números são primos. 

[;64);] Mostre que 
[;\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1 + \sin \theta}d\theta = 2;]
Observação: A novidade dos Problemas dos Fatos Matemáticos neste ano é o número questões que passa de três para quatro em cada mês.

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 20).
[;58);] Prove que
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n};]
para [;n \geq 2;].
Resolução: Usaremos indução finita sobre [;n;]. Se [;n = 2;], temos:
[;\sum_{k=1}^{2}\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} > \sqrt{2};]
Suponhamos que a expressão acima seja válida para  [;p \in \mathbb{N};], sendo [;p  > 2;] ou seja: [;\sum_{k=1}^{p} \frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \sqrt{p};]
Assim, para [;p + 1;] , temos:
[;\sum_{k=1}^{p+1}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{p+1}} \ > \ \sqrt{p} + \frac{\sqrt{p+1}}{p+1} = \frac{(p+1)\sqrt{p} + \sqrt{p+1}}{p+1};]
 Note que
[;\sqrt{p+1} \ > \ \sqrt{p} \quad \Rightarrow \quad \frac{p+1}{\sqrt{p+1}} \ > \ \frac{p}{\sqrt{p}} \quad \Rightarrow \quad (p+1)\sqrt{p} > p\sqrt{p+1};]
Logo, 
[;\sum_{k=1}^{p+1}\frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \frac{(p+1)\sqrt{p} + \sqrt{p+1}}{p+1} = \frac{\sqrt{p+1}(p+1)}{p+1} = \sqrt{p+1};]
Observação: Outras soluções foram enviadas pelo colega Pedro Roberto de Lima que serão reunidas em um post que publicarei em breve.
 
[;59);] Uma janela será construída para a parede de uma igreja. Esta janela é constituída de um retângulo de altura [;b;] e na parte superior por um semicírculo de raio [;r;]. Sendo o perímetro da janela igual a [;P = 4\pi + 4 \ m;], ache suas dimensões de modo a permitir a maior passagem da luz. 

Resolução: Nesta resolução, usaremos o fato que a derivada total das funções [;P(b,r);]  e [;S(b,r);] são nulas. Pela figura acima o perímetro é
[;P = 2b + 2r + \pi r;]
de modo que
[;0 = \frac{dP}{dr} = 2\frac{db}{dr} + \pi + 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{db}{dr} = -\frac{\pi + 2}{2} \qquad (1);]
Por outro lado, a área da janela é
[;S = 2rb + \frac{\pi r^2}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{dS}{dr} = 2b + 2r\frac{db}{dr} + \pi r \quad \Rightarrow;]
 [;\frac{db}{dr} = -\frac{\pi r + 2b}{2r} \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], segue que
[;\frac{\pi + 2}{2} = \frac{\pi r + 2b}{2r} \quad \Rightarrow \quad b = r;] 
Assim,
 [;P = 2r + 2r + \pi r = (\pi + 4)r \quad \Rightarrow \quad b = r = \frac{P}{\pi + 4};]
[;60);] (AMO - 1984) Mostre que a equação [;x^4 + 131 = 3y^4;] não admite soluções inteiras. 
Resolução: O último dígito de um quadrado perfeito é [;0;], [;1;], [;4;], [;5;], [;6;] ou [;9;]. O último dígito de uma potência à quarta é [;0;], [;1;], [;5;] ou [;6;]. Portanto, o último dígito de [;x^4 + 131;] é [;1;], [;2;], [;6;] ou [;7;]. Por outro lado, o último dígito do termo [;3y^4;] é [;0;], [;3;], [;5;] ou [;8;]. Portanto, um inteiro não pode estar presente em ambos os lados da equação dada. Logo, esta equação não admite soluções inteiras.

Participe enviando as soluções dos problemas [;61);] [;62);], [;63);] e [;64);] no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/02/2013.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 19);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 18)

2 comentários:

  1. Como é o problema 61? Não consigo visualizá-lo..

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    Respostas
    1. O enunciado é raiz enésima de n menor que 1 mais a raiz da fração 2/n, sendo n um inteiro positivo.

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