FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 21)

quarta-feira, 9 de janeiro de 2013

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 21)

$[;61);]$ Prove que [;\sqrt[n]{n} < 1 + \sqrt{\frac{2}{n}};] se $[;n;]$ é um inteiro positivo.
$[;62);]$ Na figura abaixo, $[;AP/PB = 3/4;]$ e $[;AR/RC = 3/2;]$ . Prove que $[;C;]$ é o ponto médio de $[;BZ;]$ .

$[;63);]$ Prove que existe exatamente uma única terna de números $[;(n,n+2,n+4);]$ no qual os três números são primos.

$[;64);]$ Mostre que

[;\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1 + \sin \theta}d\theta = 2;]

Observação: A novidade dos Problemas dos Fatos Matemáticos neste ano é o número questões que passa de três para quatro em cada mês.

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 20).

$[;58);]$ Prove que

$[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n};]$

para $[;n \geq 2;]$ .
Resolução: Usaremos indução finita sobre $[;n;]$ . Se $[;n = 2;]$ , temos:

[;\sum_{k=1}^{2}\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} > \sqrt{2};]

Suponhamos que a expressão acima seja válida para [;p \in \mathbb{N};], sendo [;p > 2;] ou seja: [;\sum_{k=1}^{p} \frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \sqrt{p};]

Assim, para $[;p + 1;]$ , temos:

$[;\sum_{k=1}^{p+1}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{p+1}} \ > \ \sqrt{p} + \frac{\sqrt{p+1}}{p+1} = \frac{(p+1)\sqrt{p} + \sqrt{p+1}}{p+1};]$

Note que

[;\sqrt{p+1} \ > \ \sqrt{p} \quad \Rightarrow \quad \frac{p+1}{\sqrt{p+1}} \ > \ \frac{p}{\sqrt{p}} \quad \Rightarrow \quad (p+1)\sqrt{p} > p\sqrt{p+1};]

Logo,

[;\sum_{k=1}^{p+1}\frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \frac{(p+1)\sqrt{p} + \sqrt{p+1}}{p+1} = \frac{\sqrt{p+1}(p+1)}{p+1} = \sqrt{p+1};]

Observação: Outras soluções foram enviadas pelo colega Pedro Roberto de Lima que serão reunidas em um post que publicarei em breve.

$[;59);]$ Uma janela será construída para a parede de uma igreja. Esta janela é constituída de um retângulo de altura $[;b;]$ e na parte superior por um semicírculo de raio $[;r;]$ . Sendo o perímetro da janela igual a $[;P = 4\pi + 4 \ m;]$ , ache suas dimensões de modo a permitir a maior passagem da luz.

Resolução: Nesta resolução, usaremos o fato que a derivada total das funções $[;P(b,r);]$ e $[;S(b,r);]$ são nulas. Pela figura acima o perímetro é

$[;P = 2b + 2r + \pi r;]$

de modo que

$[;0 = \frac{dP}{dr} = 2\frac{db}{dr} + \pi + 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{db}{dr} = -\frac{\pi + 2}{2} \qquad (1);]$

Por outro lado, a área da janela é

[;S = 2rb + \frac{\pi r^2}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{dS}{dr} = 2b + 2r\frac{db}{dr} + \pi r \quad \Rightarrow;]

[;\frac{db}{dr} = -\frac{\pi r + 2b}{2r} \qquad (2);]

De $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , segue que

[;\frac{\pi + 2}{2} = \frac{\pi r + 2b}{2r} \quad \Rightarrow \quad b = r;]

Assim,

[;P = 2r + 2r + \pi r = (\pi + 4)r \quad \Rightarrow \quad b = r = \frac{P}{\pi + 4};]

$[;60);]$ (AMO - 1984) Mostre que a equação $[;x^4 + 131 = 3y^4;]$ não admite soluções inteiras.
Resolução: O último dígito de um quadrado perfeito é $[;0;]$ , $[;1;]$ , $[;4;]$ , $[;5;]$ , $[;6;]$ ou $[;9;]$ . O último dígito de uma potência à quarta é $[;0;]$ , $[;1;]$ , $[;5;]$ ou $[;6;]$ . Portanto, o último dígito de $[;x^4 + 131;]$ é $[;1;]$ , $[;2;]$ , $[;6;]$ ou $[;7;]$ . Por outro lado, o último dígito do termo $[;3y^4;]$ é $[;0;]$ , $[;3;]$ , $[;5;]$ ou $[;8;]$ . Portanto, um inteiro não pode estar presente em ambos os lados da equação dada. Logo, esta equação não admite soluções inteiras.

Participe enviando as soluções dos problemas $[;61);]$ $[;62);]$ , $[;63);]$ e $[;64);]$ no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/02/2013.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 19);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 18).