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sexta-feira

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 22)

65) Dada a expressão 
onde   são números reais arbitrários, mostre que .

66) Ache todas as soluções reais do sistema de equações
67) Sejam   e números reais não-negativos tal que . Prove que .

68) Considere três jarras com capacidade para e litros. A jarra de litros está cheia de água. Você é capaz de medir exatamente litros? 

Observação: Você não possui outros recipientes para trabalhar e os recipientes não estão marcados, indicando as frações. Você pode despejar a água de um recipiente em outro quantas vezes quiser.

Observação: A novidade dos Problemas dos Fatos Matemáticos neste ano é o número questões que passa de três para quatro em cada mês. 

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 21).

61) Prove que
 
se é um inteiro positivo. 

Resolução: Pelo binômio de Newton, 
 
 
de modo que 
 

62) Na figura abaixo, e . Sendo , prove que é o ponto médio de
Resolução: Seja um ponto sobre o prolongamento de de modo que , conforme a figura abaixo. 
 
Afirmação 1:  
De fato,
 

 
Assim,
Analogamente,
Portanto, donde segue o resultado. 

Afirmação 2:
De fato, sendo , então e (opostos pelo vértice). Assim, 
 
ou seja, é ponto médio de

63) Prove que existe exatamente uma única terna de números no qual os três números são primos. 
 

Resolução: Se é par, então, então e também são. Mas apenas o é um primo par. Assim, deve ser ímpar. Nesse caso, e também são ímpares. 

Afirmação: , ou é divisível por
De fato, se não é divisível por , então ou , sendo natural. Se , então e se , então . Analogamente, se não é divisível por , então ou . Ambos os casos, ou .

A única possibilidade de um número ser divisível por e primo é que ele seja o próprio . Assim, e . Portanto, a terna procurada é

Observe que qualquer outra terna da forma com n ímpar distinto de deve conter pela afirmação acima, um número que é múltiplo de . Logo, a terna é única.

64) Mostre que 
Resolução: Seja . Assim, 

Logo, 
 
O leitor Sebá enviou a solução do Problema 63.

Participe enviando as soluções dos problemas 65), 66), 67) e 68) no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/03/2013.

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4 comentários:

  1. Como se demonstra que...
    mdc(x,y).mmc(x,y)=x.y

    Obrigado

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    1. De cabeça eu não lembro da demonstração. Recomendo que veja algum livro de teoria dos números, por exemplo o livro Fundamentos de Aritmética do Hygino.

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  2. No primeiro problema, o ultimo cosseno nao deveria ser cos x_n ? Porque ali está escrito cos x_1.

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    1. É cosseno de x_1 mesmo de modo que cada x_j apareça duas vezes.

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