65) Dada a expressão
onde 
são números reais arbitrários, mostre que 
.
66) Ache todas as soluções reais do sistema de equações
67) Sejam 
e 
números reais não-negativos tal que 
. Prove que 
.
66) Ache todas as soluções reais do sistema de equações
68) Considere três jarras com capacidade para 
e 
litros. A jarra de litros está cheia de água. Você é capaz de medir exatamente 
litros?
Observação: Você não possui outros recipientes para trabalhar e os recipientes não estão marcados, indicando as frações. Você pode despejar a água de um recipiente em outro quantas vezes quiser.
Observação: Você não possui outros recipientes para trabalhar e os recipientes não estão marcados, indicando as frações. Você pode despejar a água de um recipiente em outro quantas vezes quiser.
Observação: A novidade dos Problemas dos Fatos Matemáticos neste ano é o número questões que passa de três para quatro em cada mês.
Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 21).
61) Prove que
61) Prove que
se 
é um inteiro positivo.
Resolução: Pelo binômio de Newton,
de modo que
62) Na figura abaixo,
e 
. Sendo 
, prove que 
é o ponto médio de 
.
Resolução: Seja 
um ponto sobre o prolongamento de 
de modo que 
, conforme a figura abaixo.
Afirmação 1: 
De fato,
e
Assim,
Analogamente,
Portanto, 
donde segue o resultado.
Afirmação 2:
De fato, sendo
, então 
e 
(opostos pelo vértice). Assim,
ou seja, é ponto médio de .
63) Prove que existe exatamente uma única terna de números
no qual os três números são primos.
Resolução: Se é par, então, então 
e 
também são. Mas apenas o 
é um primo par. Assim, deve ser ímpar. Nesse caso, e também são ímpares.
Afirmação:, ou é divisível por 
.
De fato, se não é divisível por , então 
ou 
, sendo 
natural. Se , então 
e se 
, então 
. Analogamente, se não é divisível por , então 
ou 
. Ambos os casos, ou 
.
A única possibilidade de um número ser divisível por e primo é que ele seja o próprio . Assim, 
e 
. Portanto, a terna procurada é 
.
Observe que qualquer outra terna da forma com n ímpar distinto de deve conter pela afirmação acima, um número que é múltiplo de . Logo, a terna é única.
64) Mostre que
Resolução: Seja 
. Assim,
Logo,
O leitor Sebá enviou a solução do Problema 63.
Participe enviando as soluções dos problemas 65), 66), 67) e 68) no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/03/2013.
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62) Na figura abaixo,
De fato,
Afirmação 2:
De fato, sendo
63) Prove que existe exatamente uma única terna de números
Resolução: Se
Afirmação:
De fato, se
A única possibilidade de um número ser divisível por
Observe que qualquer outra terna da forma
64) Mostre que
Participe enviando as soluções dos problemas 65), 66), 67) e 68) no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo de entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 10/03/2013.
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Como se demonstra que...
ResponderExcluirmdc(x,y).mmc(x,y)=x.y
Obrigado
De cabeça eu não lembro da demonstração. Recomendo que veja algum livro de teoria dos números, por exemplo o livro Fundamentos de Aritmética do Hygino.
ExcluirNo primeiro problema, o ultimo cosseno nao deveria ser cos x_n ? Porque ali está escrito cos x_1.
ResponderExcluirÉ cosseno de x_1 mesmo de modo que cada x_j apareça duas vezes.
Excluir